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A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X, para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes:

Classes (Xi) fi
4  –  9

9  –  14

14  –  19

19  –  24

24  –  29

29  –  34

34  –  39

39  –  44

44  –  49

5

9

10

15

12

6

4

3

2

 

  1. Sabe-se que o desvio-padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio-padrão.
  2. -0,600
  3. 0,191
  4. 0,709
  5. 0,603
  6. -0,610

 

Sol.: Nesta questão, nossa primeira preocupação será a de descobrir o que está sendo solicitado. Ora, temos dois coeficientes de assimetria de Pearson! Aquele que se baseia nos valores da Média, Mediana e do Desvio-Padrão é exatamente o Segundo Coeficiente de Pearson, que é dado pela fórmula:

     Sabendo disso, teremos agora que fazer todo o trabalho para calcular essas três medidas que compõem a nossa fórmula!

 

# Cálculo da Média:

     Trabalharemos pelo método da variável transformada! Perfazendo os passos já nossos conhecidos, teremos:

Classes (Xi) fi PM (PM-6,5)=Yi

    5

Yi.fi
4  –  9

9  –  14

14  –  19

19  –  24

24  –  29

29  –  34

34  –  39

39  –  44

44  –  49

5

9

10

15

12

6

4

3

2

6,5

11,5

16,5

21,5

26,5

31,5

36,5

41,5

46,5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

9

20

45

48

30

24

21

16

  n=66     213

     Agora, calcularemos o valor da Média da variável transformada Yi, pela utilização da fórmula:   

 

     Teremos que:   à    à 

 

     Construindo os caminhos de transformação da variável, teremos:

 

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-6,5)             à                  2º)(¸5)

                                                 Xi                                                                  Yi                                   

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+6,5)            ¬                  1º)(x5)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

     Daí, percorrendo o caminho de volta, e lembrando-nos das propriedades da média, que é influenciada pelas quatro operações, teremos que:

     1o) 3,227 x 5 = 16,14  e

     2o) 16,14 + 6,5 = 22,64   à  Ou seja:

 

# Cálculo da Mediana:

 

     Para descobrirmos quem é a Classe Mediana, calcularemos o (n/2). Teremos que: (n/2)=33 à Nosso valor de referência!

 

     Partimos para as perguntas de praxe, comparando o (n/2) com os valores da fac! Teremos:

 

Classes (Xi) fi fac↓  
4  –  9

9  –  14

14  –  19

19  –  24

24  –  29

29  –  34

34  –  39

39  –  44

44  –  49

5

9

10

15

12

6

4

3

2

5

14

24

39

51

57

61

64

66

à 5 é ³ 33? NÃO!

à 14 é ³ 33? NÃO!

à 24 é ³ 33? NÃO!

à 39 é ³ 33? SIM!

  n=66    

 

     Daí, descobrimos que a Classe Mediana é a quarta classe:     (19 – 24)! Agora, resta aplicarmos a fórmula da Mediana.

 

Teremos:

  à    à  Md=22,0

# Cálculo do Desvio Padrão:

 

     Este não precisaremos calcular, porque já foi fornecido pelo enunciado!! Toda atenção é pouca, quando se trata de ler as questões! Alguém mais desatento talvez fosse perder um tempo incomensuravelmente valioso, calculando este Desvio Padrão, que já havia sido “dado de bandeja”!

 

     Segundo o enunciado, teremos: S=10,0

 

# Calculando o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:

 

     Aplicando a fórmula, teremos:

 

  à    à  A=0,191  à  Resposta!!

 

 

  1. Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem 3, m3. Assinale a opção correta:
  2. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média.
  3. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média.
  4. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média.
  5. O valor de m3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações.
  6. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média.

 

Sol.:  Esta questão é meramente conceitual! Quer saber se o aluno conhece a fórmula do Terceiro Momento ou Momento de Terceira Ordem Centrado na Média Aritmética! Apenas isso!

     A fórmula do m3 (chamado de m3 pelo enunciado!) é a seguinte:

 

 

     Traduzindo a fórmula acima, vemos que o seu numerador representa “os desvios dos elementos Xi em relação à Média, elevados à terceira potência”. Em outras palavras: o numerador é o cubo dos desvios em relação à média!

     O denominador é apenas o número de elementos do conjunto. Se estamos dividindo o somatório de um conjunto de elementos pelo seu número de elementos, estamos na verdade determinando a sua Média!

     Daí, o entendimento completo da fórmula do M3, será a seguinte: ”a média dos cubos dos desvios em relação à média”.

     Portanto: Opção E à Resposta!!

 

 

     Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 400 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A próxima questão se refere a esses ensaios.

 

Classes (Xi) P(%)
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

5

10

20

50

70

95

100

 

  1. Seja S o desvio-padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo segundo coeficiente de Pearson.
  2. a) Negativo e maior que menos um;
  3. b) Positivo e maior que um;
  4. c) Positivo e menor que um;
  5. d) Negativo e menor que menos um;
  6. e) Zero.

 

Sol.: Sabemos que antes de qualquer coisa, teremos que trabalhar as colunas de freqüências, para chegarmos à fi! É o que faremos agora:

 

Classes (Xi) Fac Fi fi
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

5%

10%

20%

50%

70%

95%

100%

5%

5%

10%

30%

20%

25%

5%

20

20

40

120

80

100

20

 

 

     O Segundo Coeficiente de Pearson é determinado pela fórmula seguinte:  , conforme havíamos visto na primeira questão!

 

     Daí, calcularemos a Média e a Mediana deste conjunto!

 

 

# Cálculo da Média:

 

     Usando o método da variável transformada, teremos:

 

 

 

 

 

Classes (Xi) fi PM (PM-19,5)=Yi

    10

Yi.fi
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

20

20

40

120

80

100

20

19,5

29,5

39,5

49,5

59,5

69,5

79,5

0

1

2

3

4

5

6

0

20

80

360

320

500

120

  n=400     1400

 

 

     Após isso, acharemos o valor da média da variável transformada Yi. Da seguinte forma:

 

  à    à 

 

     Desenhando os caminhos de transformação, teremos:

 

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-19,5)             à                  2º)(¸10)

                                                 Xi                                                                  Yi                                   

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+19,5)            ¬                  1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

Daí, percorrendo o caminho de volta, e lembrando-nos das propriedades da média, que é influenciada pelas quatro operações, teremos que:

     1o) 3,5 x 10 = 35,0  e

     2o) 35,0 + 19,5 = 54,5   à  Ou seja:

 

# Cálcul o da Mediana:

 

     Vamos logo descobrir quem é a Classe Mediana!

     Fazemos (n/2)=200, e comparamos esse valor (200) com os valores da fac! Teremos:

 

Classes (Xi) fi fac  
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

20

20

40

120

80

100

20

20

40

80

200

280

380

400

à 20 é ³ 200? NÃO!

à 40 é ³ 200? NÃO!

à 80 é ³ 200? NÃO!

à 200 é ³ 200? SIM! É o quê?

É IGUAL!!! Logo: 2a REGRA DE OURO DA MEDIANA!!!

  n=400    

 

     Olha que beleza!! Sem fazer mais nenhuma conta, já podemos afirmar que: Md=54,5 (=limite superior da classe correspondente!)

 

Finalmente, aplicando a fórmula do Segundo Coeficiente de Pearson a este conjunto, verificamos que o numerador irá se anular! Vejamos:

 

 à  à   à  A=0 (zero) à Resposta!

 

 

  1. Considere a seguinte transformação Z=(X-75)/20. Para o atributo Z encontrou-se que , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a opção que dá o desvio-padrão amostral do atributo X. Sabe-se que a amostra possui 50 elementos e que a média desses elementos é 85.
  2. a) 5,00
  3. b) 5,05
  4. c) 5,10
  5. d) 25,00
  6. e) 25,51

 

Sol.: Uma questãozinha das boas! Aqui, temos que saber, e bem, trabalhar com a variável transformada! Comecemos construindo os caminhos de transformação das variáveis. Teremos:

 

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-75)             à                  2º)(¸20)

                                               Xi                                                                  Zi                                

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+75)            ¬                  1º)(x20)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

O enunciado pede que encontremos o valor do Desvio-Padrão Amostral da variável original Xi. Pelos dados fornecidos na questão, percebemos facilmente que a fórmula a ser empregada é a seguinte:

 

 

  Observando a presença do “menos 1” no denominador (fora dos colchetes!) por conta do fator de correção de Bessel, presente no cálculo do desvio-padrão (e variância) amostral.

 

  Agora ficou fácil enxergar que teremos de calcular a Variância da variável transformada Zi para, em seguida, percorrermos o caminho de volta da transformação e chegarmos à resposta procurada!

 

 

 

 

O cálculo do Desvio-Padrão de Zi será dado por:

 

 

  Ora, desta fórmula já conhecemos o valor do n (=50) e da parcela  , ambos fornecidos pelo enunciado. Resta encontrarmos o quê? Apenas o valor de  e só!

 

  Aqui vale a atenção do aluno! O enunciado forneceu mais algum dado adicional? SIM! Forneceu a Média da variável Xi! Ora, se quiséssemos saber a Média da variável transformada Zi, como faríamos para calculá-la?

 

  Sabemos que a fórmula da Média é a seguinte:  

 

  Percebamos que, para chegarmos ao valor do numerador , teríamos que conhecer o n e o . Aquele já sabemos quem é; esse ainda não! Mas podemos chegar ao valor do , trabalhando com a variável transformada! Teremos apenas que percorrer o Caminho de Ida da transformação, e teremos o seguinte:

 

Partindo do =85,0 à 1o) 85-75=10 e 2o) 10:20=0,5 à =0,5

 

  Agora, podemos fazer o seguinte:

 

 à    à    à

 

Daí, retornaremos à fórmula do Sz, e chegaremos ao seguinte:

 

  à   à Sz=0,2525

 

 

  Finalmente, agora só teremos que percorrer o caminho de volta da transformação, para chegarmos ao Desvio-Padrão do X! Teremos:

 

Partindo do Sz=0,2525 à 1o)0,2525×20=5,05 à 2o)A soma não influencia o valor do Desvio-Padrão! à Logo: Sx=5,05 à Resposta!

 

 

 

 

 

 

 

  1. Aplicando a transformação z = (x – 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.
  2. 6,20
  3. 4,40
  4. 5,00
  5. 7,20
  6. 3,90

 

Sol.: Essa aqui é bem mais simples! Basta construirmos os caminhos de transformação e nos lembrarmos das propriedades do desvio padrão!

     Teremos que:

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-14)             à                  2º)(¸4)

                                                Xi                                                                  Zi                                

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+14)            ¬                  1º)(x4)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

 

     Daí, percorrendo o Caminho de Volta, faremos:

 

     1o)1,10×4=4,40  e   2o)Soma não altera o desvio-padrão!

 

     Chegamos, finalmente a: Sx=4,40 à  Resposta!!

 

 

 

 

     Pronto, amigos! Lá se foi mais esse simulado. Espero que estejam se saindo bem. Espero, mais ainda, que estejam aprendendo com eventuais erros cometidos!

 

     Na seqüência, deixo com vocês o “SIMULADO 5”. Este é bem diferente. Apenas teórico! Contém assertivas extraídas de provas anteriores do AFRF, e nosso trabalho será apenas dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

 

     Na verdade, estou aproveitando um e-mail de um aluno virtual, o Edson Luiz, um paraense que anda batalhando na capital maranhense. Ele me mandou esta relação e achei-a apropriada a se tornar um pequeno simulado! Obrigado ao Edson, um forte abraço!

     Dedico esta aula de hoje aos meus muitos e bons amigos – os Técnicos da Receita Federal de todo o País – dos quais recebo e-mails quase que diariamente. É uma categoria da qual me orgulho profundamente em dizer que já fiz parte, e que admiro sinceramente. Um forte abraço aos colegas TRF!

     Sem mais delongas, deixo-os com o nosso SIMULADO 05.

     Até a próxima!

 

SIMULADO 05

 

  • A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de freqüências.

 

  • Em qualquer distribuição de freqüências, a média
    aritmética é mais representativa do que a média
    harmônica.

 

  • A soma dos quadrados dos resíduos em relação à
    média aritmética é nula.

 

  • A moda, a mediana e a média aritmética são
    medidas de posição com valores expressos em reais que
    pertencem ao domínio da variável a que se referem.

 

  • Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável aleatória.

 

  • O coeficiente de assimetria, em qualquer
    distribuição de freqüência, é menor do que o
    coeficiente de curtose.

 

  • O coeficiente de assimetria, em uma
    distribuição de freqüência, é um real no intervalo
    [-3,3].

 

  • O coeficiente de curtose, em uma distribuição de
    freqüência, é igual a três vezes o quadrado da
    variância da distribuição.

 

  • O coeficiente de curtose é igual a três em uma
    distribuição normal padrão.

 

  • Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de
    curtose é nulo.

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Olá, amigos! O previsto para esta aula de hoje era a resolução da prova no estilo Cespe, que havia deixado pra vocês na vez passada.

         Ainda não tive tempo de transpor a resolução das questões para o computador (o que espero fazer nos próximos dias), de modo que, para não perdermos tempo, estou apresentando hoje a vocês a nossa primeira “Aula-Resumo”, conforme havia já explicado no último Ponto. 

         Como o próprio nome sugere, trata-se de uma síntese, com o que há de mais relevante sobre o assunto, como fórmulas, propriedades, e alguns exercícios. A aula-resumo é feita, sobretudo, para revisar, para reavivar na memória aquilo que já havia sido aprendido.

         Espero, sinceramente, que vocês todos façam um bom proveito destes resumos. Pessoalmente, creio que os resumos, de qualquer matéria, são excelentes amigos de quem pretende passar em concursos.

         Sempre fiz uso deles, seja estudando Direito, seja Contabilidade, seja Aduana, seja Estatística. Nunca me arrependi de “perder tempo”, elaborando-os.  Foi um tempo muitíssimo bem empregado, por sinal.

         Por hoje é isso! Um abraço forte a todos e até breve!

 

         Segue o resumo de Média Aritmética.

RESUMO DE MÉDIA ARITMÉTICA

 

  1. A Média é a primeira e mais importante das Medidas de Posição. Designada por .

 

  1. Cálculo da Média para o Rol:

 

                                          

 

  1. Cálculo da Média para Dados Tabulados:

 

 

  1. Cálculo da Média para Distribuição de Freqüências:

      

 

  1. Propriedades da Média Aritmética:

 

         à Da Soma e Subtração) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou subtraída desta constante.

 

      à Do Produto e Divisão)  Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida por esta constante.

 
06. Cálculo da Média pela Variável Transformada:

 

Passos:

 

  • Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Yi), seguindo a sugestão que apresentamos;

 

  • Construir a coluna (Yi.fi) e calcular o seu somatório;

 

  • Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a fórmula:

 

  • Descrever, a partir do Caminho de Ida, da variável original para a transformada, o caminho inverso, ou seja, o Caminho de Volta, que usaremos para achar a nossa resposta!

 

  • Seguindo, então, esse Caminho de Volta, calcularemos a Média da Variável Original, seguindo as propriedades, e lembrando-nos que a Média é influenciada pelas quatro operações (soma, subtração, produto e divisão).

 

 

  1. Dica de Ouro da Média Aritmética:

 

  1. i) Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número ímpar de classes, a Média será o Ponto Médio da classe intermediária.

 

  1. ii) Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número par de classes, a Média será o limite superior da primeira classe intermediária, que é igual ao limite inferior da segunda classe intermediária.

 

EXERCÍCIOS de MÉDIA ARITMÉTICA

 

Enunciado Único: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da Média Aritmética, utilizando o método da Variável Transformada.

 

  1. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !— 10

10 !— 20

20 !— 30

30 !— 40

40 !— 50

3

5

8

4

2

Sol.:              

Variável transformada = (PM – primeiro PM)

                                                                (amplitude da classe)

 

Chamaremos aqui nossa variável transformada de Yi.

Xi fi PM (PM-5)= Yi

     10

0 !— 10

10 !— 20

20 !— 30

30 !— 40

40 !— 50

3

5

8

4

2

5

15

25

35

45

0

1

2

3

4

 

Daí:

 Após, construiremos a coluna (Yi.fi):

Xi fi PM (PM-5)= Yi

      10

Yi.fi
0 !— 10

10 !— 20

20 !— 30

30 !— 40

40 !— 50

3

5

8

4

2

5

15

25

35

45

0

1

2

3

4

0

5

16

12

8

  n=22     41

 

Calculamos o valor da Média da Variável Transformada:

 

(41/22)  à  E: 1,86

 

Transcreveremos o caminho utilizado para chegarmos do Xi à variável transformada Yi:

 

à Caminho de Ida: (Xi para Yi): 1º)(–5)    e    2º)(¸10)  

 

Logo, o Caminho de Volta (Yi para Xi), que é o que nos interessa agora, será encontrado simplesmente invertendo as operações do Caminho de Ida, de trás para frente! Teremos:

 

à Caminho de Volta: (Yi para Xi): 1º)(x10)    e    2º)(+5)

 

Para podermos enxergar melhor essas idas e vindas, podemos até fazer um rápido desenho:

 

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-5)     e     2º)(¸10)

              =?    Xi                             Yi   1,86

       
   
     

 

 

2º)(+5)     e     1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

Seguindo o caminho de volta, partindo do valor do 1,86, teremos, que:

 

1º)(x10)à 1,86×10=18,6    e    2º)(+5)à 18,6+5=23,6 = à Resposta da Questão!

 

  1. Trabalhe a Distribuição abaixo:

 

Xi fi
0 !— 15

15 !— 30

30 !— 45

45 !— 60

60 !— 75

75 !— 90

4

7

11

9

5

2

 

Sol.: Construir a coluna do Ponto Médio e a coluna de transformação da variável original:

 

Xi fi PM (PM-7,5)= Yi

        15

0 !— 15

15 !— 30

30 !— 45

45 !— 60

60 !— 75

75 !— 90

4

7

11

9

5

2

7,5

22,5

37,5

52,5

67,5

82,5

0

1

2

3

4

5

 

Construiremos a coluna (Yi.fi):

 

Xi fi PM (PM-7,5)= Yi

         15

Yi.fi
0 !— 15

15 !— 30

30 !— 45

45 !— 60

60 !— 75

75 !— 90

4

7

11

9

5

2

7,5

22,5

37,5

52,5

67,5

82,5

0

1

2

3

4

5

0

7

22

27

20

10

  n=38     86

 

Calcularemos o valor da Média da nossa variável transformada, :

 

   à Acharemos:   = (86/38) à  E: =2,26

 

Faremos o “desenho” dos caminhos de ida e volta, que usamos para ir da variável original Xi, para a transformada Yi, e o retorno:

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-7,5)     e     2º)(¸15)

              =?    Xi                             Yi   2,26

       
   
     

 

 

2º)(+7,5)     e     1º)(x15)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

Percorreremos o caminho de volta, partindo de 2,26, e lembrando-nos que a Média é influenciada pelas quatro operações:

 

1º)(x15)à 2,26×15=33,9    e   2º)(+7,5)à 33,9+7,5=41,4 =  à Resposta da Questão!

 

 

 

 

  1. Trabalhe a Distribuição abaixo:

 

Xi fi
 9,5 !— 19,5

19,5 !— 29,5

29,5 !— 39,5

39,5 !— 49,5

49,5 !— 59,5

4

6

7

5

3

Sol.:

  1. i) Coluna do PM e coluna de transformação:

 

Xi fi PM (PM-14,5)= Yi

         10

 9,5 !— 19,5

19,5 !— 29,5

29,5 !— 39,5

39,5 !— 49,5

49,5 !— 59,5

4

6

7

5

3

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

0

1

2

3

4

 

 

  1. ii) Coluna do (Yi.fi):

 

Xi fi PM (PM-14,5)= Yi

          10

Yi.fi
 9,5 !— 19,5

19,5 !— 29,5

29,5 !— 39,5

39,5 !— 49,5

49,5 !— 59,5

4

6

7

5

3

14,5

24,5

34,5

44,5

54,5

0

1

2

3

4

0

6

14

15

12

  n=25     47

 

iii) Cálculo do :

 

  à  =(47/25)  à  =1,88

 

 

  1. iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:

 

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-14,5)     e     2º)(¸10)

              =?    Xi                             Yi   1,88

       
   
     

 

 

2º)(+14,5)     e     1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

  1. v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do :

 

1º)(x10)à 1,88×10=18,8  e 2º)(+14,5)à 18,8+14,5=33,3 que é nosso !

 

Daí: = 33,3 à Resposta da Questão!

 

  1. Trabalhe a Distribuição abaixo:

 

Xi fi
30  !—  40

40  !—  50

50  !—  60

60  !—  70

70         !—  80

80         !—  90

90         !— 100

100 !— 110

110 !— 120

1

3

7

11

14

11

7

3

1

 

  1. i) coluna do PM e coluna de transformação:

 

Xi fi PM (PM-35)= Yi

          10

30  !—  40

40  !—  50

50  !—  60

60  !—  70

70  !—  80

80  !—  90

90  !— 100

100 !— 110

110 !— 120

1

3

7

11

14

11

7

3

1

35

45

55

65

75

85

95

105

115

0

1

2

3

4

5

6

7

8

 

  1. ii) Coluna do (Yi.fi):

 

Xi fi PM (PM-35)= Yi

          10

Yi.fi
30  !—  40

40  !—  50

50  !—  60

60  !—  70

70  !—  80

80  !—  90

90  !— 100

100 !— 110

110 !— 120

1

3

7

11

14

11

7

3

1

35

45

55

65

75

85

95

105

115

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

3

14

33

56

55

42

21

8

  n=58     232

iii) Cálculo do :

  à  =(232/58)  à  =4,0

 

  1. iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-35)     e     2º)(¸10)

              =?    Xi                             Yi   4,0

       
   
     

 

 

2º)(+35)     e     1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

  1. v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do :

 

1º)(x10)à 4,0×10=40,0  e 2º)(+35)à 40+35=75 =  à Resposta da Questão!

 

  1. Extraído do AFRF-2002.1:

Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100

 

Sol.: Faremos os “trabalhos preliminares”, para chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples! O caminho a seguir será o seguinte:

Fac  à   Fi   à  fi

 

Na primeira conversão, faremos “próxima Fac menos Fac anterior” e ficaremos assim:

Classes Fac ¯ Fi
70 – 90 5% 5%
90 – 110 15% 10%
110 – 130 40% 25%
130 – 150 70% 30%
150 – 170 85% 15%
170 – 190 95% 10%
190 – 210 100% 5%

 

Na segunda conversão, observaremos que o enunciado nos disse que n=200. Daí,usaremos a relação entre Fi e fi, qual seja: fi=Fi.n e ficaremos assim:

 

Classes Fac ¯ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10

 

A partir deste ponto é que começaremos os passos necessários para chegarmos à Média!

 

Para enxergarmos mais facilmente, vamos reduzir nossa tabela apenas às duas colunas que nos interessarão agora: a das classes e a fi:

Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10

 

  1. i) coluna do PM e coluna de transformação:
Classes fi PM (PM-80)= Yi

         20

70 – 90 10 80 0
90 – 110 20 100 1
110 – 130 50 120 2
130 – 150 60 140 3
150 – 170 30 160 4
170 – 190 20 180 5
190 – 210 10 200 6

 

  1. ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-80)= Yi

          20

Yi.fi
70 – 90 10 80 0 0
90 – 110 20 100 1 20
110 – 130 50 120 2 100
130 – 150 60 140 3 180
150 – 170 30 160 4 120
170 – 190 20 180 5 100
190 – 210 10 200 6 60
  n=200     580

iii) Cálculo do :

  à  =(580/200)  à  =2,9

 

  1. iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-80)  e  2º)(¸20)

                                   =?    Xi                                                                  Yi   2,9

       
   
     

 

 

2º)(+80)  e  1º)(x20)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

  1. v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do :

 

1º)(x20)à 2,9×20=58,0  e 2º)(+80)à 58+80=138 =  à Resposta da Questão!

 

  1. Extraído do AFRF-2002.2:

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

 

Classes Freqüência (f)
29,4 — 39,5 4
39,5 — 49,5 8
49,5 — 59,5 14
59,5 — 69,5 20
69,5 — 79,5 26
79,5 — 89,5 18
89,5 — 99,5 10

 

Sol.: Nesta questão, a coluna de freqüências fornecida já foi a própria fi, de forma que podemos imediatamente passar aos passos do cálculo da média:

 

  1. i) coluna do PM e coluna de transformação:

 

Classes fi PM (PM-34,5)= Yi

         10

29,4 — 39,5 4 34,5 0
39,5 — 49,5 8 44,5 1
49,5 — 59,5 14 54,5 2
59,5 — 69,5 20 64,5 3
69,5 — 79,5 26 74,5 4
79,5 — 89,5 18 84,5 5
89,5 — 99,5 10 94,5 6

 

  1. ii) Coluna do (Yi.fi):

 

Classes fi PM (PM-34,5)= Yi

         10

Yi.fi
29,4 — 39,5 4 34,5 0 0
39,5 — 49,5 8 44,5 1 8
49,5 — 59,5 14 54,5 2 28
59,5 — 69,5 20 64,5 3 60
69,5 — 79,5 26 74,5 4 104
79,5 — 89,5 18 84,5 5 90
89,5 — 99,5 10 94,5 6 60
  n=100     350

 

iii) Cálculo do :

  à  =(350/100)  à  =3,5

 

  1. iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-34,5)  e  2º)(¸10)

              =?    Xi                             Yi   3,5

       
   
     

 

 

2º)(+34,5)  e  1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

  1. v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do :

 

1º)(x10)à 3,5×10=35  e 2º)(+34,5)à 35+34,5=69,5 =  à Resposta da Questão!

 

 

  1. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:

A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F
29,4 — 39,5 2
39,5 — 49,5 6
49,5 — 59,5 13
59,5 — 69,5 23
69,5 — 79,5 36
79,5 — 89,5 45
89,5 — 99,5 50

 

Sol.: Teremos que passar da fac fornecida pelo enunciado para a freqüência absoluta simples, fi:

 

Classes fac ¯ fi
29,4 — 39,5 2 2
39,5 — 49,5 6 4
49,5 — 59,5 13 7
59,5 — 69,5 23 10
69,5 — 79,5 36 13
79,5 — 89,5 45 9
89,5 — 99,5 50 5

Feito isso, estamos prontos para realizarmos os cinco passos necessários para determinarmos a Média, pelo método da variável transformada.

 

  1. i) coluna do PM e coluna de transformação:

 

Classes fi PM (PM-34,5)= Yi

          10

29,4 — 39,5 2 34,5 0
39,5 — 49,5 4 44,5 1
49,5 — 59,5 7 54,5 2
59,5 — 69,5 10 64,5 3
69,5 — 79,5 13 74,5 4
79,5 — 89,5 9 84,5 5
89,5 — 99,5 5 94,5 6

 

  1. ii) Coluna do (Yi.fi):

 

Classes fi PM (PM-34,5)= Yi

        10

Yi.fi
29,4 — 39,5 2 34,5 0 0
39,5 — 49,5 4 44,5 1 4
49,5 — 59,5 7 54,5 2 14
59,5 — 69,5 10 64,5 3 30
69,5 — 79,5 13 74,5 4 52
79,5 — 89,5 9 84,5 5 45
89,5 — 99,5 5 94,5 6 30
  n=50     175

 

iii) Cálculo do :

 

  à  =(175/50)  à  =3,5

 

 

 

 

  1. iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:

Caminho de Ida

 
   

 

 

1º)(-34,5)  e  2º)(¸10)

              =?    Xi                             Yi   3,5

       
   
     

 

 

2º)(+34,5)  e  1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

  1. v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do :

 

1º)(x10)à 3,5×10=35  e 2º)(+34,5)à 35+34,5=69,5

 

Daí: = 69,5 à Resposta da Questão!

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Uma empresa do ramo de construção civil contratou 200 operários para executar uma obra de 100.000 m2 em 12 meses. A tabela abaixo apresenta a distribuição de salários semanais brutos – S – dos 200 operários.”

 

função Salário semanal bruto (S) Número de operários
F1 R$100,00  <  S  <   R$140,00 50
F2 R$140,00  <  S  <  R$160,00 80
F3 R$160,00  <  S  <  R$240,00 40
F4 R$240,00  <  S  <  R$360,00 30
Total 200

 

            Para cada função, essa empresa apresenta ainda as seguintes estatísticas sobre o salário semanal bruto por função.

 

função Média Mediana
F1 R$ 130,00 R$ 120,00
F2 R$ 150,00 R$ 145,00
F3 R$ 170,00 R$ 200,00
F4 R$ 290,00 R$ 280,00

 

Sol.: Vejamos que a coisa já é diferente desde o início. Nas questões da Esaf, estamos acostumados a ver os limites das classes separados por símbolos como !—   ou mesmo como “ — “ , ou até com “ ; “ . Em qualquer caso, conforme aprendemos, o entendimento é de que estamos trabalhando com o intervalo “clássico”, que inclui o limite inferior da classe e exclui o superior.

 

O Cespe usa mais os sinais de “menor que” e “maior que”, o que, no final das contas, é a mesma coisa! Daí, nossas classes, fornecidas pelo enunciado, são as seguintes:

 

Salário semanal bruto (S)
100,00  !—   140,00
140,00  !—  160,00
160,00  !—  240,00
240,00  !—  360,00

 

 

 

Logo de pronto, somos tomados por duas surpresas: 1o) as classes fornecidas apresentam amplitudes diferentes; e 2o) foi fornecida uma segunda tabela, informando, para cada classe, a média e a mediana.

Ora, aprendemos que Média e Mediana são medidas de tendência central, e que se referem ao conjunto inteiro! E aqui, diferentemente, a Cespe tratou cada classe como se fosse um conjunto particular. Como entenderemos isso?

Ora, as medidas estatísticas, da forma como aprendemos a calculá-las, resultam em valores apenas aproximados, uma vez que não conhecemos os elementos de cada classe, mas somente seus limites. Portanto, se a questão nos fornecer dados que nos permitam um cálculo mais preciso, deveremos utilizá-los.

Como faremos isso?

Para calcular as Medidas de Posição e de Dispersão, em cujas fórmulas aparece o Ponto Médio (PM), substituiremos esse último pela Média de cada classe! Claro! Só usávamos o PM para representar uma classe porque não dispúnhamos de um outro dado mais representativo. E a Média de uma classe é, inegavelmente, mais representativa que o Ponto Médio.

Por sua vez, nas medidas cujas fórmulas não possuem o Ponto Médio, quais sejam, a moda, as medidas separatrizes (mediana, quartis, decis e percentis) e as questões relacionadas com a interpolação linear da ogiva, utilizaremos a outra informação fornecida: as medianas de cada classe.          Neste caso, teremos que construir uma nova distribuição de freqüências, utilizando-nos dessas medianas de classes.

         Ora, sabemos que a mediana divide um conjunto em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que há à sua direita. Destarte, teremos a seguinte distribuição de freqüências, partindo da original:

 

Salário semanal bruto (S) Número de operários
R$100,00  !—   R$120,00 25
R$120,00  !—   R$140,00 25
R$140,00  !—  R$145,00 40
R$145,00  !—  R$160,00 40
R$160,00  !—  R$200,00 20
R$200,00  !—  R$240,00 20
R$240,00  !—  R$280,00 15
R$280,00  !—  R$360,00 15
  200

 

Todos enxergaram o que nós fizemos aqui? Transformamos cada classe (da distribuição original) em duas novas classes, utilizando-nos da Mediana das classes originais, fornecidas pelo enunciado.

Assim, a primeira classe original, que era 100 !— 140 e que tinha como Mediana o valor 120, transformou-se nas seguintes classes: 100 !— 120 e 120 !— 140.

 

E quanto ao número de elementos da classe? Ora, se a classe original tinha 50 elementos, cada nova classe agora terá apenas metade disso, ou seja, 25 elementos. Não poderia deixar de ser diferente, uma vez que a mediana divide a classe em duas metades!

 

Feitas essas primeiras explicações, passemos à resolução em si.

 

 

  • O salário médio semanal bruto dos operários dessa empresa é igual a R$175,00.

 

Aqui usaremos a distribuição original e as médias de cada classe!

 

A fórmula que aprendemos para cálculo da Média de uma distribuição de freqüências era a seguinte:

 

 

         Agora, como dito, trataremos cada classe como um “subconjunto”, cuja média é nossa conhecida, daí, onde houver Ponto Médio, passará a haver Média da Classe! Nossa fórmula agora será:

 

 

         Em que chamamos “” de Média da Classe! Teremos, portanto:

 

 

A resposta está, portanto, ERRADA.

 

 

  • O primeiro quartil da distribuição dos salários é igual a R$140,00.

 

Usaremos a nova distribuição de freqüências!

E tem mais novidades: nós aprendemos que, no cálculo da mediana, ou no cálculo das medidas separatrizes PARA A DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS, não interessava se o número de elementos do conjunto era par ou era ímpar. Fazíamos, em qualquer caso, uma única conta, e encontrávamos o valor de referência, que seria comparado com os valores da freqüência absoluta acumulada crescente – fac. MAS, entretanto, contudo, todavia e não obstante, o Cespe pensa diferentemente!

Ou seja, para o Cespe, haverá sempre duas posições a serem consideradas no cálculo das medidas separatrizes!

Vamos entender isso melhor, encontrando o primeiro quartil, como nos pede a segunda questão.

Construamos logo a coluna da fac. Teremos:

 

Salário semanal bruto (S) Número de operários fac ¯
R$100,00  !—   R$120,00 25 25
R$120,00  !—   R$140,00 25 50
R$140,00  !—  R$145,00 40 90
R$145,00  !—  R$160,00 40 130
R$160,00  !—  R$200,00 20 150
R$200,00  !—  R$240,00 20 170
R$240,00  !—  R$280,00 15 185
R$280,00  !—  R$360,00 15 200
  200  

 

Conforme aprendemos, a fórmula do primeiro quartil é a seguinte:

 

 

Para a Esaf, o primeiro quartil é o elemento que ocupa a posição (n/4). Já, para o Cespe, o Q1 ocupará a posição intermediária entre (n/4) e [(n/4)+1].

Desse modo, teremos também que aplicar a seguinte fórmula:

 

Daí, teremos que fazer essas duas contas:

(n/4) = 200 / 4 = 50  e

(n/4)+1 = 51

 

E iremos comparar tais valores de referência – 50 e 51 – com os valores da coluna da fac, fazendo aquelas perguntas de praxe (“Esta fac é maior ou igual ao valor de referência?”).

 

Começando com o valor de referência “50”, a 50a posição, teremos:

 

 

Salário semanal bruto (S) fi fac ¯  
R$100,00  !—   R$120,00 25 25 à 25 é ³ 50? Não!
R$120,00  !—   R$140,00 25 50 à 50 é ³ 50? Sim! É o quê? É IGUAL! (2a. Regra de Ouro das Separatrizes)!
R$140,00  !—  R$145,00 40 90  
R$145,00  !—  R$160,00 40 130  
R$160,00  !—  R$200,00 20 150  
R$200,00  !—  R$240,00 20 170  
R$240,00  !—  R$280,00 15 185  
R$280,00  !—  R$360,00 15 200  
  200    

 

 

Pela “Segunda Regra de Ouro” das separatrizes, nem precisaremos fazer conta, para podermos afirmar que o elemento que ocupa a 50a posição é o elemento 140.

Contudo, caso, na hora da prova, tenhamos esquecido essa “regra de ouro”, as contas serão as seguintes:

 

  à    à  Q1’ = 140

 

 

            Fazendo agora o mesmo para o valor de referência 51, ou seja, para a 51a posição, acharemos o Q1’’. Teremos:

 

Salário semanal bruto (S) fi fac ¯  
R$100,00  !—   R$120,00 25 25 à 25 é ³ 51? Não!
R$120,00  !—   R$140,00 25 50 à 50 é ³ 51? Não!
R$140,00  !—  R$145,00 40 90 à 90 é ³ 51? SIM!
R$145,00  !—  R$160,00 40 130  
R$160,00  !—  R$200,00 20 150  
R$200,00  !—  R$240,00 20 170  
R$240,00  !—  R$280,00 15 185  
R$280,00  !—  R$360,00 15 200  
  200    

 

         Daí, aplicando a fórmula do Q1’’, teremos:

 

 

  à    à  Q1’’ = 140,8

 

         Finalmente, o cálculo do primeiro quartil será extraído da média dos dois valores encontrados acima. Ou seja:

Q1 = (Q1’ + Q1’’) / 2

 

         Teremos, portanto, que:   Q1 = (140 + 140,8) / 2  à  Q1 = 140,4  à Resposta!

 

         Em suma, no cálculo das Medidas Separatrizes (Mediana, Quartil, Decil, Centil) de uma Distribuição de Freqüências, para o Cespe, deveremos agir da mesma forma como se estivéssemos trabalhando com um ROL. Ou seja, estas medidas estarão sempre entre duas posições! A primeira delas é dada pela fração da fórmula. E a segunda delas, é a posição “vizinha posterior” à primeira!

         Neste nosso caso, tivemos que a fração é a (n/4), que resultou na posição 50. E a vizinha posterior, utilizada no segundo cálculo, foi a posição 51.

         Tudo esclarecido, a resposta desta questão está, portanto, ERRADA!

 

  • A mediana da distribuição dos salários é igual a R$152,50.

 

Agora ficou fácil. Senão, vejamos. Usaremos também aqui a nova distribuição de freqüências, e encontraremos os elementos intermediários do conjunto, os quais ocupam, respectivamente, as posições {(n/2)} e {(n/2)+1}. Esses dois valores serão nossos “valores de referência”, que usaremos para comparar com os valores da fac. Daí, usaremos as duas fórmulas que se seguem:

 

     e    

 

O primeiro passo seria construir a coluna da fac, o que já foi feito na questão anterior. Apenas reproduzindo a tabela, teremos o seguinte:

 

Salário semanal bruto (S) fi fac ¯
R$100,00  !—   R$120,00 25 25
R$120,00  !—   R$140,00 25 50
R$140,00  !—  R$145,00 40 90
R$145,00  !—  R$160,00 40 130
R$160,00  !—  R$200,00 20 150
R$200,00  !—  R$240,00 20 170
R$240,00  !—  R$280,00 15 185
R$280,00  !—  R$360,00 15 200

A primeira fórmula nos diz: 

 

Logo, o valor de referência é a fração (n/2). Teremos que: (n/2)=1000

 

Comparando esse valor 100 com os valores da fac, acharemos que:

 

Salário semanal bruto (S) fi fac ¯  
R$100,00  !—   R$120,00 25 25 à 25 é ³ 100? Não!
R$120,00  !—   R$140,00 25 50 à 50 é ³ 100? Não!
R$140,00  !—  R$145,00 40 90 à 90 é ³ 100? Não!
R$145,00  !—  R$160,00 40 130 à 130 é ³ 100? SIM!
R$160,00  !—  R$200,00 20 150  
R$200,00  !—  R$240,00 20 170  
R$240,00  !—  R$280,00 15 185  
R$280,00  !—  R$360,00 15 200  
  200    

 

Aplicando a fórmula usando os dados da classe encontrada, teremos:

 

  à    à  Md’ = 148,75

 

         Agora, trabalharemos a segunda posição central, que é a “vizinha posterior” à primeira. Se a primeira posição central foi a centésima (n/2=100), então a vizinha posterior é 101a posição. Nosso valor de referência agora é o 101. Comparando-o com os valores da fac, teremos:

 

Salário semanal bruto (S) fi fac ¯  
R$100,00  !—   R$120,00 25 25 à 25 é ³ 101? Não!
R$120,00  !—   R$140,00 25 50 à 50 é ³ 101? Não!
R$140,00  !—  R$145,00 40 90 à 90 é ³ 101? Não!
R$145,00  !—  R$160,00 40 130 à 130 é ³ 101? SIM!
R$160,00  !—  R$200,00 20 150  
R$200,00  !—  R$240,00 20 170  
R$240,00  !—  R$280,00 15 185  
R$280,00  !—  R$360,00 15 200  
  200    

 

            Trabalharemos com a mesma classe da primeira fórmula.

         Aplicando a fórmula Md’’, teremos agora:

 

  à    à  Md’’ = 149,125

 

         Daí, para acharmos o valor da Mediana, somaremos os resultados obtidos em Md’ e Md’’ e dividiremos essa quantia por 2. Ou seja, faremos:

 

Md = (Md’ + Md’’) / 2  à  Md = (148,75 + 149,125) / 2  à  Md = 148,93à Resposta!

 

         Este item está, portanto, INCORRETO, o que está perfeitamente de acordo com o resultado do Cespe!

 

  • A moda da distribuição dos salários, segundo a fórmula de Czuber, é igual a R$148,57.

 

Aqui tem mais novidade!

Para aplicarmos o cálculo da Moda de Czuber, é necessário que as classes tenham mesma amplitude! Quando isso não ocorrer, e é o nosso caso, teremos que usar um artifício, que chamaremos de “Normalização das Freqüências”.

Obteremos novas freqüências, e as chamaremos de “freqüências normalizadas”. Como se faz isso? A freqüência normalizada é a freqüência absoluta simples (fi) dividida pela amplitude da classe respectiva (h).

Ou seja:   fNORMALIZADA = (fi / h)

Esta freqüência normalizada será assumida como a nova fi, e será, essa sim, utilizada no cálculo da Moda! Construindo a coluna das freqüências normalizadas, teremos o seguinte:

 

h Salário semanal bruto (S) fi Freqüência normalizada (fi/h)
20 R$100,00  !—   R$120,00 25 25/20 = ¼
20 R$120,00  !—   R$140,00 25 25/20 = ¼
5 R$140,00  !—  R$145,00 40 40/5 = 8
15 R$145,00  !—  R$160,00 40 40/15 = 8/3
40 R$160,00  !—  R$200,00 20 20/40 = ½
40 R$200,00  !—  R$240,00 20 20/40 = ½
40 R$240,00  !—  R$280,00 15 15/40 = 3/8
80 R$280,00  !—  R$360,00 15 15/80 = 3/16

 

Pronto! Agora é só seguir o procedimento normal. Qual será a classe modal? Será aquela de maior freqüência, no nosso caso, a de maior freqüência normalizada. Logo, a maior freqüência normalizada é 8, da terceira classe. Ou seja:

Salário semanal bruto (S) fi Freqüência normalizada (fi/h)  
R$100,00  !—   R$120,00 25 25/20 = ¼  
R$120,00  !—   R$140,00 25 25/20 = ¼  
R$140,00  !—  R$145,00 40 40/5 = 8 à Classe Modal
R$145,00  !—  R$160,00 40 40/15 = 8/3  
R$160,00  !—  R$200,00 20 20/40 = ½  
R$200,00  !—  R$240,00 20 20/40 = ½  
R$240,00  !—  R$280,00 15 15/40 = 3/8  
R$280,00  !—  R$360,00 15 15/80 = 3/16  

 

Se a classe modal é a terceira, já é fato cediço que a Moda deverá estar, necessariamente, entre seus limites. Ou seja, será um valor entre 140 (inclusive) e 145 (exclusive).

A questão afirma que a Moda é igual a 148,57.

Nem será preciso fazer mais nada. ERRADO, portanto, este item.

 

Mas, como nós não somos de nadar e morrer na praia, já que estamos na chuva mesmo, vamos logo encharcar tudo e calcular o valor da Moda. Teremos:

 

 

            Da fórmula acima, extraímos que:

            linf = 140

         fi = 8

         fi ant = 5/4, logo: Da = 8 – 5/4 = 27/4

         fi pos = 8/3, logo: Dp = 8 – 8/3 = 16/3

h = 5

 

         Daí:     à  E: Mo=142,8

 

 

  • 36,25% dos operários recebem salário semanal bruto entre R$130,00 e R$155,00.

 

Trabalharemos com a nova distribuição de freqüências.

 

         Calculemos logo de cara a quantos elementos do conjunto correspondem 36,25% dos

36,25% dá um total de: 36,25% x 200 = 72,5 pessoas

  • Vamos calcular o número de pessoas que recebem abaixo de R$ 130,00 .

 

Podemos usar a seguinte fórmula, derivativa das separatrizes:

 

elemento procurado = (posição do elemento – facant) . h

                                                    fi

 

130 está na 2ª classe.

 

         130 = 120 + (“posição do 130” – 25) . 20

                                                  25

 

                   Daí:   posição do 130 = 37,5

 

                   Ou seja, há 37,5 pessoas que recebem menos do que R$ 130,00.

 

  • Vamos calcular o número de pessoas que recebem abaixo de R$ 155,00 .

 

elemento procurado = (“posição do elemento” – facant) . h

                                                    fi

 

155 está na 4ª classe.

 

         155 = 145 + (posição do 155 – 90) . 15

                                               40

 

                   Daí:   posição do 155 = 116,7

 

                   Logo, há 116,7 pessoas que recebem menos do que R$ 155,00.

 

  • Vamos, finalmente, calcular o número de pessoas que recebem entre R$ 130,00 e R$ 155,00 .

 

     116,7 pessoas

 

 

37,5 pessoas

     
   
 
   

 

 

 

   130,00            155,00

 

Como há 116,7 pessoas que recebem abaixo de 155,00 e 37,5 pessoas que recebem abaixo de 130,00 , então teremos que o número de pessoas que recebem entre 130,00 e 155,00 é de:

116,7 – 37,5 = 79,2 pessoas

 

Isto representa um porcentual de 79,2/200 = 39,6/100 = 39,6% à Resposta!

 

O item está, portanto, ERRADO, uma vez que informa um percentual de 36,25%.

 

  • Se a empresa pagar R$10,00 a mais para cada um dos seus 200 operários, a variância do salário semanal bruto dos operários não sofrerá alteração.

 

Essa é barbada! Teremos apenas que nos lembrar das propriedades da variância! Ora, a Variância, conforme já é do nosso conhecimento, não sofre influência de operações de soma e subtração! Não é isso mesmo?

Logo, pagar R$10,00 a mais para cada funcionário, nada mais é do que somar a constante 10 a todos os elementos do conjunto!

Como conseqüência, a Variância do conjunto não se altera, de modo que está CORRETO este item. (E nem precisamos fazer uma conta sequer)!

 

  • Se a empresa der um aumento de 10% para cada um dos seus 200 operários, a variância do salário semanal bruto dos operários aumentará em 21%.

 

Outra barbada! Novamente aqui apenas teríamos de nos lembrar das propriedades da Variância. Aumentar em 10% os salários significa apenas MULTIPLICAR os elementos por 1,10.

         Daí, sabemos que a Variância sofre o efeito das operações de produto e divisão, de modo que: “A nova Variância será a variância original multiplicada pelo QUADRADO da constante”!

         Logo, como a constante é 1,10, temos que o quadrado da constante é (1,10)2=1,21.

         E multiplicar um valor por 1,21 é aumentá-lo em 21%.

         Certo? Certíssimo!

         Está CORRETO este item!

 

  • 7,5% dos operários receberam salário semanal bruto maior ou igual a R$280,00.

 

Essa também é quase de graça! Usaremos a nova distribuição de freqüências.

 

Por primeiro, teremos que 7,5% dos elementos dá um total de:

 

7,5% x 200 = 15 pessoas

 

Portanto, se o item estiver correto deverá haver :  200 – 15 = 185 pessoas que recebem abaixo de 280,00. Vamos verificar se está correto.

 

Apenas pela mera observação da nossa distribuição de freqüências, constatamos que é isso é verdadeiro. Senão vejamos:

 

Salário semanal bruto (S) fi
R$100,00  !—   R$120,00 25
R$120,00  !—   R$140,00 25
R$140,00  !—  R$145,00 40
R$145,00  !—  R$160,00 40
R$160,00  !—  R$200,00 20
R$200,00  !—  R$240,00 20
R$240,00  !—  R$280,00 15
R$280,00  !—  R$360,00 15

 

Logo, o item está CORRETO!

 

 

  • Considere, por hipótese, que os operários, insatisfeitos com seu salário, ameaçam fazer greve, e que a empresa prontamente lhes faça uma proposta de aumento salarial de 20% sobre o valor bruto para todos os operários, descontando, porém, as refeições fornecidas no valor de R$34,00/semana para cada um dos operários. Nessa hipótese, a proposta apresentada pela empresa não alterará a média dos salários semanais brutos dos operários.

 

Aqui, o que a questão fez foi “brincar” com as propriedades da Média. A proposta feita pela empresa trazia embutida  as seguintes operações:

1o) Aumentar os salários em 20%. Operação correspondente: multiplicar por 1,20;

2o) Subtrair os salários em R$34,00. Operação correspondente: subtrair de 34.

Aplicando-se essas duas operações a todos os elementos do conjunto, o que ocorrerá ao valor da Média dos salários?

Ora, havíamos, na primeira questão da prova, calculado que a Média do conjunto é igual a 170. O ponto de partida é, pois, esse valor: 170.

Sabemos também que a Média é influenciada pelas quatro operações matemáticas (soma, subtração, produto e divisão). Logo, nossa média sofrerá os seguintes efeitos:

 

1o) 170 x 1,20 = 204   e   2o) 204 – 34 = 170 à Que é a própria Média!

 

Ou seja, a proposta da empresa resultaria em trocar seis por meia dúzia!

 

O item está perfeitamente CORRETO!

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Ramo da álgebra

Ramo da álgebra, da matemática em que as letras são usadas para representar as relações aritméticas. Como na aritmética, álgebra operações básicas são adição, subtração, multiplicação, divisão e raiz encontrar. A aritmética, no entanto, não é possível generalizar as relações matemáticas, como o teorema de Pitágoras, que afirma que numa área triangular do quadrado do lado hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados do lado Hicks. A aritmética dá apenas casos especiais deste relacionamento (por exemplo, 3, 4 e 5, uma vez que 42 = 32 + 52). A álgebra, no entanto, pode dar uma generalização que satisfaz as condições do teorema: a2 + b2 = c2. Um número multiplicado por si mesmo é chamada quadrada, e é representado por o sobrescrito 2. Por exemplo, a notação de 3 × 3 é de 32, do mesmo modo, a × a é igual a a2.
A álgebra clássica, que trata da resolução de equações, utilizando símbolos em vez de números específicos e operações aritméticas para determinar como usar esses símbolos. A álgebra moderna evoluiu a partir da álgebra clássica a prestar mais atenção às estruturas matemáticas. Matemáticos consideram a álgebra moderna como um conjunto de objetos com regras que conectam ou se relacionam. Assim, em sua forma mais geral, uma boa definição de álgebra é a álgebra é dito ser a linguagem da matemática.
História
A história da álgebra começou no antigo Egito e na Babilônia, onde eles foram capazes de resolver linear (ax = b) e quadrática (ax2 + bx = c), e equações indeterminadas, como x2 + y2 = z2, com várias incógnitas. Os antigos babilônios solucionada a equação quadrática utilizando essencialmente os mesmos métodos ensinados hoje. Eles também foram capazes de resolver algumas equações indeterminadas.
O Alexandrino matemáticos Hero e Diofanto continuou a tradição do Egito e da Babilônia, embora o livro A Aritmética de Diofanto é de nível muito mais e tem muitas soluções surpreendentes para difíceis equações indeterminadas. Esta sabedoria antiga, encontrada em resolução de equações, por sua vez, recebeu no mundo islâmico, onde foi chamada de “ciência da redução e equilíbrio.” (A palavra árabe al-jabru “redução” significado, é a origem da palavra álgebra). No século IX, o matemático al-Jw rizm ? ?, escreveu um dos livros de álgebra primeiro árabe, uma apresentação sistemática da teoria fundamental de equações, com exemplos e demonstrações incluídos. No final do século IX, o egípcio matemático Abu Kamil afirmou e provou as leis fundamentais e identidades da álgebra e problemas resolvidos tão complicadas como encontrar o x, y, z que satisfazem x + y + z = 10, x2 + y2 = z2 e xz = y2.
Nas civilizações antigas escrever expressões algébricas, utilizando apenas abreviaturas ocasionais, mas na Idade Média, os matemáticos árabes foram capazes de descrever qualquer poder do x desconhecido, e desenvolveu a álgebra básica de polinômios, mesmo sem usar os símbolos moderna. Este multiplicam álgebra incluído, dividir e extrair raízes quadradas de polinômios, eo conhecimento do teorema binominal. O matemático, astrônomo e poeta persa Omar Khayyam mostrou como expressar as raízes de equações cúbicas usando os segmentos obtidos pela interseção cônicas, mas foi incapaz de encontrar uma fórmula para as raízes. A tradução latina da Álgebra de al-Jw rizm ? ? foi publicado no século XII. No início do século XIII, o matemático italiano Leonardo Fibonacci foi capaz de encontrar uma aproximação para a solução da equação cúbica x3 + 2×2 + cx = d. Fibonacci tinha viajado para países árabes, para que eles certamente utilizado o método árabe de aproximações sucessivas.
No início do século XVI matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia e Gerolamo Cardano resolveu a equação geral cúbico em termos das constantes que aparecem na equação. Ludovico Ferrari, estudante Cardano, logo encontrou a solução exata para a equação quártica e, portanto, alguns matemáticos de séculos mais tarde tentou encontrar a fórmula para as raízes de equações de quinto grau e superior. No entanto, no início do século XIX matemático norueguês Niels Abel e Evariste Galois francês provou que a fórmula não tal.
Um avanço em álgebra foi a introdução, no símbolo do século XVI para o desconhecido e para operações algébricas e poderes. Devido a este desenvolvimento, o terceiro livro de geometria (1637), escrito pelo matemático e filósofo francês René Descartes se assemelha ao texto de álgebra moderna. No entanto, a contribuição mais importante para a matemática de Descartes foi a descoberta da geometria analítica, o que reduz a resolução de problemas geométricos para resolver o problema algébrico. Seu livro de geometria também contém as bases de uma aula de teoria das equações, incluindo o que Descartes chamou a regra dos sinais para contar o número de raízes reais (positivos) e falsos (negativo) de uma equação. Durante o século XVIII continuou a trabalhar sobre a teoria das equações e em 1799 o matemático alemão Carl Friedrich Gauss publicou uma demonstração de que toda equação polinomial tem pelo menos uma raiz no plano complexo (ver Número: números complexos).
Nos tempos de Gauss, álgebra tinha entrado na sua fase moderna. O foco mudou de equações polinomiais para estudar a estrutura de sistemas matemáticos abstratos cujos axiomas foram baseadas no comportamento de objetos matemáticos, como números complexos, que os matemáticos encontrados ao estudar equações polinomiais. Dois exemplos de tais sistemas são os grupos e quaternions, que partilham algumas das propriedades de sistemas numéricos, mas eles também diferem substancialmente. Sistemas começaram como grupos de permutações e combinações (ver Combinatória) de raízes de polinômios, mas evoluiu para se tornar um dos mais importantes conceitos unificadores da matemática no século XIX. Matemáticos franceses Galois e Augustin Cauchy, Cayley Arthur britânicos e noruegueses Niels Abel e Sophus Lie fizeram contribuições importantes para o estudo. Os quaternions foram descobertos pelo matemático e astrônomo irlandês William Rowan Hamilton, que desenvolveu a aritmética dos números complexos para quatérnios, enquanto que os números complexos são da forma a + bi, os quaternions são da forma a + bi + cj + dk.
Hamilton Após a descoberta do matemático alemão Hermann Grassmann começou a investigar os vetores. Apesar de sua natureza abstrata, o físico americano J. W. Gibbs encontrado no sistema vetor álgebra útil para os físicos, assim como Hamilton tinha feito com quaternions. A influência generalizada desta abordagem abstrata levou George Boole para escrever A pesquisa sobre as Leis do Pensamento (1854), um tratamento algébrico de lógica básica. Desde então, álgebra moderna, também chamada álgebra abstrata tem continuado a evoluir, importantes resultados foram obtidos e têm encontrado aplicações em todos os ramos da matemática e outras ciências.
Os termos específicos e símbolos
Entre os símbolos algébricos são números, letras e símbolos para operações aritméticas diferentes. Os números são, é claro, constante, mas pode representar tanto letras como variáveis ??constantes. As primeiras letras do alfabeto são usados ??para representar constantes e variáveis ??duram.
Operações e símbolos de agrupamento
Agrupamento de símbolos algébricos e seqüência aritmética é baseada em símbolos de agrupamento, para garantir a clareza de leitura linguagem algébrica. Entre os símbolos de agrupamento são parênteses (), colchetes [], chaves {} e listras horizontais, links também chamados, que são freqüentemente usados ??para representar a divisão e raízes, como no exemplo a seguir:
 

Os símbolos das operações básicas são bem conhecidos da aritmética: adição (+), subtração (-), multiplicação (×) e divisão (:). Para a multiplicação, ‘x’, o sinal é geralmente omitido ou substituído por um ponto, como em a, b •. Um grupo de símbolos adjacentes, como abc, representa o produto de a, b e c. A divisão é normalmente indicado por listras horizontais. Uma barra, ou til é também usado para separar o numerador à esquerda da linha, o denominador do lado direito, nas fracções. Cuidado de agrupar os termos adequadamente. Por exemplo, ax + b / c – indica que machado dy e dy são termos separados, bem como b / c, enquanto que (ax + b) / (c – d) representa a fração:
 

Acções prioritárias
Multiplicações é feito em primeiro lugar, em seguida, as divisões, seguido de adição e subtracção. Os símbolos de agrupamento de indicar a ordem na qual eles estão executando operações: em primeiro lugar são todas as operações dentro do mesmo grupo, começando com o mais interior. Por exemplo:
 

Outras definições
Qualquer expressão que inclui a relação de igualdade (=) é chamada equação. Uma equação é chamada de identidade, se a igualdade vale para qualquer valor das variáveis, se a equação é verdadeira para certos valores das variáveis, mas não outras, a equação é condicional. Um termo é uma expressão algébrica que contém apenas produtos de constantes e variáveis, 2x,-a, ? S4X, x2 (2zy) 3 são exemplos de termos. A parte numérica de um termo é chamado de coeficiente. Os coeficientes de cada um dos exemplos acima são o 2, -1 ? e 8 (o último termo pode ser escrito como 8×2 (z) 3).
Uma expressão que contém somente um termo é chamado monomiais dois mandatos e três termos binômio, trinômio. Um polinômio é uma soma (ou diferença) de termos finitos. Por exemplo, um polinómio de grau n na sua forma geral é expresso como:
 
Neste contexto, o grau é o maior expoente das variáveis ??em um polinómio. Por exemplo, se a maior expoente da variável é 3, como no ax3 + bx2 + cx, é o polinómio de terceiro grau. Do mesmo modo, a expressão xn + xn-1 + xn-2 é n-ésimo grau.
Uma equação linear em uma variável é uma equação polinomial de primeiro grau, ou seja, uma equação da forma ax + b = 0. Eles são chamados de equações lineares que representam a fórmula de uma linha reta em geometria analítica.
A equação quadrática em uma variável de uma equação polinomial de segundo grau, ou seja, da forma ax2 + bx + c = 0.
Um número primo é um número inteiro (número natural) que pode ser dividido uniformemente por si só e 1. Assim, 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são todos números primos.
Os poderes de um número é obtido através da multiplicação do número sucessivo por si só. O termo é elevado à terceira potência, por exemplo, pode ser expressa como uma • • a3 um AO.
Os factores primos de um número de factores são aqueles em que pode ser decomposto de forma que o número pode ser expresso apenas como produto de números primos, as suas capacidades. Por exemplo, os factores primos de 15 são 3 e 5. Da mesma forma, como 60 = 22 × 3 × 5, os fatores primos de 60 são 2, 3 e 5.
Operações com polinômios
Ao fazer operações com polinômios, assume-se a satisfazer as mesmas propriedades para aritmética numérica. Na aritmética, os números utilizados são o conjunto dos números racionais. Aritmética, por si só, não pode ir mais longe, mas a álgebra e geometria pode incluir números irracionais como a raiz quadrada de 2, e números complexos. O conjunto de todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais.
Adicionando propriedades
A1. A soma dos dois números reais a e b é um número qualquer outro real é gravado a + b. Os números reais são uniformes para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, isso significa que quando você executar uma dessas operações com números reais, o resultado é outro número real.
A2. Seja qual for a forma são agrupados em termos da adição, o resultado da soma é sempre o mesmo: (a + b) + c = a + (b + c). Esta propriedade é chamada associativo de adição.
A3. Uma vez que qualquer número real, é o número zero real (0) conhecido como um elemento neutro da adição, de tal modo que a + 0 = 0 + a = a.
A4. Uma vez que qualquer número real, há um outro número real (-a), chamado um elemento de simetria (ou recíproco do elemento de soma), de tal modo que a + (-a) = 0.
A5. Independentemente da ordem em que a adição é realizada, a soma é sempre o mesmo: a + b = b + a. Ele é chamado de propriedade comutativa da adição.
Qualquer conjunto de quatro números que satisfazem às primeiras propriedades são referidos de modo a formar um grupo. Se além disso, o conjunto satisfaz A5, diz-se ser um grupo abeliano ou comutativa.
Propriedades de multiplicação
Para a multiplicação conhecidos como propriedades da adição. No entanto, devemos prestar atenção especial aos elementos neutros e recíproca, M3 e M4.
M1. O produto de dois números reais A e B é outro número real, o que está escrito para • ab bo.
M2. Qualquer que seja a forma de agrupar os termos de multiplicação, o produto é sempre o mesmo: (ab) c = a (bc). Isso é chamado de propriedade associativa da multiplicação.
M3. Uma vez que qualquer número real, é o número real de um (1) chamada de elemento neutro da multiplicação, de tal modo que um (1) = 1 (a) = a.
M4. Dado um número real diferente de zero, um outro número de (a-1 ou 1 / a), o chamado elemento inverso (ou inverso do factor de multiplicação), para os quais (a-1) = (a-1) para = 1.
M5. Independentemente da ordem em que a multiplicação é realizada, o produto é sempre o mesmo: ab = ba. Ele é chamado de propriedade comutativa da multiplicação.
Um conjunto de elementos que satisfazem estes cinco propriedades é dito ser um grupo abeliano ou comutativa para multiplicação. O conjunto de números reais, excluindo zero, uma vez que a divisão por zero é indefinida, é um grupo abeliano para multiplicação.
Propriedade distributiva
Outra propriedade importante do conjunto de números reais relaciona adição e multiplicação da seguinte forma:
D1. um (b + c) = ab + ac
D2. (B + C) a = ba + ca
Um conjunto de elementos com uma relação de igualdade, que definem duas operações (tais como adição e multiplicação) que satisfazem as propriedades da adição, A1 a A5, multiplicação real, M1 a M5, e a propriedade distributivas, D1 e D2, é um corpo comutativo.
Multiplicação de polinômios
O seguinte exemplo é o produto de um monômio por um binómio
 
Este mesmo princípio, multiplicando cada termo do polinômio primeiro por cada um o segundo pode estender diretamente com qualquer número de termos polinomiais. Por exemplo, o produto de um binomial e um trinómio é a seguinte:
 
Tendo feito estas operações, todos os termos do mesmo grau devem ser agrupadas, quando possível, para simplificar a expressão:
 

Polinômios de factoring
Dada uma expressão algébrica complexo é útil, em geral, a decomposição em termos de múltiplas simples. Por exemplo, 2×3 + 8x2y ser fatorado, ou reescrever, como 2×2 (x + 4y). Encontrar os fatores de um polinômio dado pode ser uma questão de simples inspeção ou pode precisar usar tentativa e erro. Polinômios certos, no entanto, não pode ser tomada através de coeficientes reais e são chamados de polinômios primos.
Alguns fatorações conhecidos aparecem nos exemplos que se seguem.
 
 
 

 
 
 

Ao factor frequentemente úteis primeiro grupo, as quais são termos semelhantes são agrupadas como no exemplo a seguir, sempre que possível:
 

Maior fator comum
Dado um polinômio, muitas vezes é importante para determinar o máximo divisor comum de todos os termos do polinômio. Por exemplo, na expressão 9×3 + 18×2, número 9 é um factor de dois termos, o mesmo que x2. Após fatoração é obtido 9×2 (x + 2), e é a maior 9×2 factor comum de todos os termos do polinómio original (neste caso, um binomial). Do mesmo modo, no trinómio 9abx 6a2x3 + + 15cx2, o número 3 é a mais comum submúltiplo 6, 9 e 15, e x é o maior factor variável comum a todos os três termos. Assim, o trinômio máximo divisor comum é 3x.
Mínimo múltiplo comum
Encontrar o mínimo múltiplo comum é útil para fazer certas operações com frações algébricas. O procedimento é semelhante ao utilizado para realizar estas operações com fracções aritmética comum. Para combinar duas ou mais frações, os denominadores deve ser igual, a maneira mais direta de obter um denominador comum é multiplicar todos os denominadores juntos. Por exemplo:
 
Mas pode ser que bd não é o menor denominador comum. Por exemplo:
 
No entanto, 18 é apenas um denominadores comuns, o menor denominador comum é 6:
 
Em álgebra, o problema de encontrar o mínimo múltiplo comum é semelhante. Dado diversas expressões, seu mínimo múltiplo comum é que a expressão com o mínimo, e os menores coeficientes que podem ser divididos igualmente por cada um. Portanto, para encontrar um múltiplo comum dos termos, 2x2y 30x2y2, 9ay3, basta multiplicar as três expressões em conjunto e é fácil demonstrar que (2x2y) (30x2y2) (9ay3) pode ser dividido uniformemente por cada um dos três termos; No entanto, este não é o mínimo de múltiplos comuns. Para determinar o mínimo, cada um dos termos deverá ser decompostos nos seus factores primos. Para os coeficientes numéricos, 2, 30 e 9, os fatores primos são 2, 2 • 3 • 3 • 5 e 3, respectivamente, o mínimo múltiplo comum dos coeficientes deve, portanto, 2 • 3 • 3 • 5, ou 90, que é o produto de um número mínimo de elementos necessários para obter um múltiplo comum. Da mesma forma, a constante aparece apenas uma vez, deve ser um fator. Quanto às variáveis, x2 e y3 são necessários, para que o mínimo múltiplo comum dos três termos é 90ax2y3. Esta expressão pode ser dividida exactamente por cada um dos termos.
Resolvendo Equações
Dada uma equação, álgebra está preocupado em encontrar soluções seguindo o conceito geral de identidade a = a. Sempre que a aplicação da mesma aritmética algébrica ou em ambos os lados da equação igual permanece inalterado. A estratégia básica é a de limpar-se de um lado questões de igualdade e a solução será o outro lado. Por exemplo, para resolver a seguinte equação linear com um desconhecido
 
os termos que contêm a variável é apagado em um lado e a outra constante. O termo 3x pode ser eliminada pela subtracção do lado direito, tem de subtrair 3x a partir do lado esquerdo, ao mesmo tempo:
 
Depois de subtrair o número 6 de ambos os lados:
 
Para isolar x do lado esquerdo dividir ambos os lados da equação por 2:
 
e, por conseguinte, a solução é: x = 3. Para confirmar este resultado simplesmente substituir o valor x = 3 na equação original:
 

Resolvendo equações do segundo grau
Dada uma função quadrática ou quadrática na sua forma geral:
 
Existem várias possibilidades para resolver, dependendo da natureza específica da equação em questão. Se você pode fatorar a equação, a solução é imediata. Por exemplo:
 
Primeiro escrever a equação na sua forma geral
 
que pode ser tomada como:
 
A igualdade só vale quando um dos factores é zero, isto é, quando x = 5 ou x = -2. Estas são as soluções da equação, que por sua vez pode ser verificada por meio de substituição.
Se à primeira vista não é uma forma direta para o fator da equação, pode não haver alternativa. Por exemplo, na equação
 
4×2 + 12x expressão poderia ser tido como um quadrado perfeito se 4×2 + 12x + 9, que é igual a (2x + 3) 2. Isto é facilmente conseguido através da adição de 9 a do lado esquerdo da equação. A mesma quantidade deve ser adicionado, é claro, do lado direito:
 
o que reduz a
 
ou
 
e
 
? tem dois valores. A primeira equação dá a solução x = ? (subtraindo-3 a partir de ambos os lados: 2x = 1, e dividindo-se por ambos os lados 2: x = ?). A segunda equação dá x = -7 / 2. Ambas as soluções podem ser verificadas como acima, substituindo os valores em questão na equação original. Esta forma de resolução é geralmente chamado de método de quadrado perfeito.
Em geral, a equação quadrática qualquer de forma
 
podem ser resolvidos usando a fórmula quadrática. Para qualquer equação deste tipo as duas soluções de x é dado pela fórmula:
 
Por exemplo, para encontrar as raízes de
 
a primeira equação é colocado em sua forma geral:
 
Portanto, a = 1, b = 3 e c = -4. Estes valores são substituídos na fórmula quadrática:
 

Sistemas de equações

Em álgebra, é normal a ser resolvido equações não uma, mas várias ao mesmo tempo. O problema é encontrar o conjunto de todas as soluções que satisfazem todas as equações simultaneamente. O conjunto de equações a serem resolvidos sistema de equações é conhecida e pode ser usada para resolver álgebra técnicos específicos. Por exemplo, dado duas equações lineares com duas incógnitas
 
Há um simples e limpa a variável na equação (2) dá y = 5 – 2x, e este valor é substituído na equação (1):
 
Assim, o problema se reduz a uma equação linear com um x desconhecidas, obtendo-se
 
ou
 
onde
 
Se este valor é substituído em qualquer uma das equações originais (1) ou (2), obtém-se
 
Outro método para resolver equações é mais rápido do sistema, neste caso, multiplicando ambos os lados da equação (2) por 4, o qual é:
 
Se agora subtrai a equação (1) de a (2), em seguida, 5x = 10, x = 2. Este procedimento gera um avanço em matemática, matrizes. Teoria de matriz nos ajuda a obter soluções para qualquer conjunto de equações lineares com qualquer número de incógnitas.

Teoria de matriz e álgebra linear
Ramos da matemática, relacionados, que são ferramentas fundamentais na matemática pura e aplicada, e cada vez mais importante no. Físico, biológico e social
Teoria Matrix
Uma tabela é uma matriz retangular de números ou de elementos de um anel (ver Álgebra). Uma das principais aplicações é as matrizes de representação de equações lineares com sistemas de várias incógnitas. Cada linha da matriz representa uma equação, onde os valores de uma linha dos coeficientes das variáveis ??na equação, de modo particular.
A matriz é normalmente representado entre parênteses ou colchetes:
 
Nas matrizes acima referidas, a, b e c são números. Para delimitar a matriz, em vez de colchetes também podem ser utilizados de duas linhas paralelas a cada lado. As linhas horizontais, chamadas linhas estão numeradas de cima para baixo, as linhas verticais ou colunas são numeradas da esquerda para a direita. Usando esta notação, o elemento da segunda linha e terceira coluna de M1 é -1. Uma linha ou coluna é chamado de linha genérica.
O tamanho de uma matriz é determinado pelo número de linhas e colunas, nesta ordem, e M1, M2, M3 e M4 são de tamanho 3 × 3 (3 de 3), 3 × 3, 3 × 2 × 2 e 3, respectivamente. Os elementos de uma matriz geral de tamanho m × n são normalmente escritos usando um subscrito dupla, o primeiro índice, i, indica o número de linhas e a segunda, j, o número da coluna. Assim, o elemento a23 é na segunda linha, terceira coluna. A matriz geral
 
pode ser representado em forma abreviada como A = (aij), em que os possíveis valores dos índices i = 1, 2, …, MYJ = 1, 2, …, n tem que dar sobrentienden a menos que explicitamente. Se m = n, a matriz é quadrada e o número de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz. Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) são iguais se e somente se eles são de igual tamanho e se para todos. I e j, aij = bij Se A = (aij) é uma matriz quadrada, os elementos a11, a22, a33, … são da diagonal principal da matriz. A matriz transposta AT A é uma matriz na qual a linha de outra matriz i é a coluna de A i, j é a j coluna e linha de A. Por exemplo, tendo a matriz M3 anterior,
 
é a transposta da matriz do M3.
A adição e multiplicação de matrizes são definidas de modo a que certos conjuntos de matrizes são sistemas algébricos. Considere os elementos das matrizes de números reais, embora possa demorar elementos de qualquer outro órgão ou anel. A matriz de zero é aquele em que todos os elementos são 0; identidade Im matriz de ordem m é uma matriz quadrada de ordem m no qual todos os elementos são zero, exceto a diagonal, o que é um. A matriz identidade de ordem pode ser omitido se o restante é entendida a partir da expressão, que é escrito simplesmente Im I.
A soma de duas matrizes é definido somente se ambos têm o mesmo tamanho. Se A = (aij) e B = (bij) tem tamanho igual, então a soma de A + B = C é definida como a matriz (cij), onde bij + cij = aij, ou seja, para adicionar duas matrizes tamanho igual basta adicionar os elementos correspondentes. Assim, para as matrizes acima mencionadas
 
O conjunto de todas as matrizes de um determinado tamanho, tem propriedades uniformes, associativos e adição comutativa. Além disso, existe uma matriz única tal que para qualquer matriz A, é verdade A + O = O + A = A e um B única matriz de tal modo que A + B = B + A = O.
A AB produto de duas matrizes, A e B, é definido apenas se o número de colunas no factor esquerda A é igual ao número de linhas do factor de direito, B, se A = (aij) é de tamanho m × n B = (bjk) é de tamanho n × p, o produto AB = C = (CIK) é de tamanho m × p, e é dada por cik
 
isto é, o elemento de linha i e coluna k do produto é a soma dos produtos de cada um dos elementos da linha i do factor esquerdo multiplicado pelo elemento correspondente da coluna da direita do factor k.

Álgebra Linear
O vector conceito geométrico como o comprimento do segmento rectilíneo e dada direcção, pode ser generalizado como se mostra abaixo. Um n-vetor (n-dimensional vetor para vetor, nenhum vetor de comprimento n) é um conjunto ordenado de n elementos de um corpo. Como na teoria de matrizes, os elementos de um vector podem ser números reais. Um vector n-v é representado como

v = (x1, x2, …, xn)

 As linhas de uma matriz são vectores: a horizontal são vetores linhas verticais e vetores de coluna. Os componentes do vector x são conhecidos.
A soma dos vectores (igual comprimento) e multiplicação escalar são definidos da mesma forma que para as matrizes e cumprir as mesmas propriedades. Se
w = (y1, y2, …, yn)
e k é um escalar (número real), então
v + w = ??(x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn)
 e
kv = (KX1, KX2, …, KxN)
Se k1, k2, …, km são escalar, e v1, v2, …, vm são n-vetores, o n-vetor
v = k1v1 + + … + kmvm K2V2
chama-se uma combinação linear dos vetores v1, v2, …, vm. Os vectores n-m são linearmente independentes se a única combinação linear igual a zero n-vector, 0 = (0,0, …, 0), é aquela em que k1 = k2 = … = km = 0. Se houver outra combinação linear que faz isso, os vetores são linearmente dependentes. Por exemplo, se v1 = (0, 1, 2, 3), v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (2, 2, 4, 4) = v4 e (3, 4, 7, 8 ), então v1, v2 e v3 são linearmente independente porque K2V2 k1v1 + + k3v3 = 0 se e somente se k1 = k2 = k3 = 0, V2, V3 e V2 como v4son linearmente dependente + v3 – v4 = 0. Se A é uma matriz de posto r, então pelo menos um conjunto de linha ou coluna vector r é um conjunto linearmente independentes e todos fileira sobre ou vetor coluna r é uma linearmente dependente.
Um espaço vetorial V é um conjunto não vazio de vetores (ver teoria dos conjuntos), que satisfaz as seguintes propriedades: (1) se v ? ? V w V, então (v + w) ? V, e (2) se V ? V k é um escalar qualquer, então kv ? V. Se S = {vi} é um conjunto de vectores, todos do mesmo comprimento, todas as combinações lineares dos vetores v formar um espaço vectorial V. Diz-se que esse espaço é gerada pelo vector v Se o conjunto B = {w1} produz o mesmo espaço vectorial V, e é formado por vetores linearmente independentes, a referida base é um B V. Se uma base de V contém vectores m e, em seguida, toda a base de V contém vectores exactamente m, e diz-se que V é um espaço vectorial de dimensão m. Espaços euclidianos de duas ou três dimensões podem ser representados por pares ordenados e trios de números reais. As matrizes podem ser usadas para descrever transformações lineares de um espaço vectorial para outro.

O Princípio de Indução Completa

As ciências naturais utilizam o método chamado de indução empírica para formular leis que devem regar determinar fenômenos a partir de um grande número de observações

particulares, selecionadas adequadamente. Este tipo de procedimento, embora não seja logicamente correto, é freqüentemente satisfatório: por exemplo, ninguém duvidaria de que quando um corpo é liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da Terra, ele cai segundo a vertical local.

            A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos permitirá concluir que ela é válida em geral. Com efeito, dada a expressão f(n) = n²-n+41, considere a seguinte afirmação: para cada inteiro positivo n, o valor de f(n) é um número primo (estamos supondo aqui que o leitor está familiarizado com a noção de número primo. Para n = 1 temos que f(1) = 41. Da mesma forma, f(2) = 43, f(3)=47, caso fossemos fazendo estas contas poderíamos verificar que a afirmação é verdadeira para os primeiros 40 valores de n. Porem para n= 41 temos que f(41) = 41×41 que não é um número primo. Consideremos então uma afirmação como a seguinte: a soma dos n primeiros inteiros positivos é igual a n(n+1), ou símbolos:                                                                                                                 2

 

1 + 2 + 3 +…+ n –  n(n+1)

                                                                                               2

Como verificar sua validade ? Evidentemente, é impossível demonstra-la em todos os casos particulares.

Para demonstrar a verdade deste tipo de propósito, que na realidade é uma seqüência infinita de proposições, uma para cada inteiro positivo – Introduziremos o chamado método de recorrência ou de Indução completa. Para isso, começaremos demonstrando o seguinte resultado:

 

Teorema – Sejam a um Inteiro dado e S um conjunto de inteiros maiores ou iguais a que tem as seguintes propriedades:

 

(i)         a ÎS

(ii)        Se um Inteiro k >= a pertence a S, então k+1 também pertence a S

 

Então S é o conjunto de todos os Inteiros  maiores ou iguais a a

 

Demonstração

 

Suponhamos que a afirmação seja falsa. Então, o conjunta S’ dos Inteiros maiores ou iguais a a que não pertencem a S e não vazia (e limitado inferiormente por a). Conforme me a proposição existe m = mim S’.

Como a ÎS certamente a < m, logo a =< m-1< m

 

Ainda, m-1 m= (m-1)+i Î S, uma contradição, já que m Î S’.

 

Princípio de Indução Completa – 1ª.forma

Seja a um Inteiro dado. Suponhamos que para cada inteiro n >= a está dada uma afirmação A(n) de forma tal que:

 

(I)        A(a) é verdadeira.

(II)       Se para um Inteiro k>= a. A(k) é verdadeira, então A(k+1) é verdadeira.

Então a afirmação A(n) é verdadeira para todo Inteiro n >= a

 

Demonstração

Basta considerar o conjunto S dos Inteiros n >= a para os quais A(n) é verdadeira e verificar que está nas condições do teorema anterior. Assim, S contém todos os inteiros maiores ou iguais a a e segue a tese.

 

Exemplo – Provaremos agora que a formula

 

            1 + 2 + … + n =

 

é verdadeira para todo n >= 1

 

Para n= 1 a fórmula acima dá 1 =(1+1), 1=1.

                                                                2

 

Assimnossa afirmação é verdadeira para n=1. Deveremos mostrar agora que, se a afirmação é verdadeira para n= k, então também a verdadeira para  n= k+1.

 

Estamos admitindo então como verdadeiro que

 

 

1+ 2 + … + k  = k( k+1)

                               2

 

Somando k + 1 a ambos os membros desta Igualdade temos:

 

1 + 2 +…+ k + (k+1) =k(k+1) + (k+1) a k(k+1) + 2(k+1)

                                           2                         2

é,

1 + 2 +…+k+(k+1) – (k+1) (k+2)

                                             2

que é a fórmula correspondente a n = k+1, cuja validade

queríamos demonstrar.

Exemplo (Soma dos termosde uma progressão aritmética)

 

Sejam  a e r  dois números inteiros. A seqüência a1 = a, a2 = a + r, a3 = a + 2r, … an = a + (n-1) r,  … diz-se uma progressão aritmética de razão r. Provaremos que a somados n primeiros termos de uma progressão aritmética é:

 

a + (ar) + … +(a +(n-1)r) – n (2a + (n-1) r)

                                                              2

 

Com efeito: para n =1 , a fórmula é:

 

            a =1 *

 

é, para  n a 1 é verdadeira.

Suponhamos agora que a formula vale para n =k, isto é, admitimos que vale:

 

a + (ar)+…+(a +(k-1)r) – k(2a+(k-1)r)

                                                      2

 

Somando a+ Kr a ambos os membros desta igualdade temos:

 

a+(ar)+… (a+(k-1)r) + (a+kr) = k(2a+(k-1)r) +(a+kr)

                                                               2

k(2a+(k-1)r)-+-2(a+kr)     =          2ak + k(k-1)r +2a+2kr  =

            2          2

=  2a(k+1) + Kr(k-1+2)         =          2a(k+1) + Kr(k+1)  =

            2                                                         2

= (k+1)(2a+kr) =

            2

a + (ar) + … +(a+kr) a (k+1)(2a+kr)

                                               2

 

que é a formula correspondente a n a k+1, cuja validade queríamos demonstrar.

 

Exemplo – Mostraremos agora um resultado da geometria do plano:” a soma dos ângulos de um polígono convexo de n lados Sn = (n-2) x 180°, n >= 3”

De fato, para n = 3 temos que o polígono convexo correspondente é um triângulo e sabemos da geometria elementar que a soma dos seus ângulos é 180°

Suponhamos a afirmação valida para n = k >= 3, isto é que a soma dos ângulos de um polígono convexo com k lados é Sk = ( k-2 ) x 180°

 

0 polígono a0a2…a k que se obtém traçando o segmento a0a2 tem k lados; consequentemente, a soma dos seus ângulos é  Sk = (k-2) x 180°.

Agora, a soma dos ângulos do polígono original será Sk mais a soma dos ângulos do triângulo a0a1a2 isto é, Sk+1 = Sk + 180° = (k-2) 180° + 180° =(k-1) 180°.

 

Exemplo – Considere a formula 2n3 > 3n2+3n+1. 0 leitor poderia verificar diretamente que ela é falsa para n=1 e n=2. Porem, para n=3 obtemos: 54 > 34 que é uma afirmação verdadeira.

 

Suponhamos então que a afirmação é verdadeira para n = k >= 3, isto é, que 2k3 > 3k2 + 3k + 1.

Tentaremos demonstrar que a afirmação também é verdadeira para n = k+1 isto é, que

            2(k+1)³  >  3(k+1)² + 3(k+1) + 1

 

Temos que:

2(k+1)³ = 2(k³ +3k² +3k+1) = 2k³ + 6k²+6k+2

 

Usando a hipótese de indução, vem:

            2(k+1)³           >          3k²+3k+1+6k²+6k+2 = 3(k²+2k+1)+3k+6k2 = 3(k+1)²+3k+6k.

 

Como k >=3 temos que 6k² >= 54 > 3+1 e substituindo na fórmula acima temos:

2(k+1)³  >  3(k+1)² + 3k + 3+1= 3(k+1) + 3(k+1) + 1 como queríamos demonstrar.

Podemos afirmar então que a fórmula dada  é válida, para todo inteiro maior ou igual a 3.

Teorema – Sejam  a um inteiro dado e S  um conjunto de inteiros maiores ou iguais a a que tem as seguintes propriedades:

 

(i)        a Î S

 

(ii)       Se k e um inteiro positivo tal que todo inteiro m verificando a =< m =< k pertence a S, então k + 1  pertence a S.

 

Então,  S é o conjunto de todos os inteiros maiores ou iguais a a.

 

Demonstração

            Suponhamos que a afirmação é falsa. Então, o conjunto S’ dos inteiros maiores ou iguais a a, que não pertencem a S, é vazio e limitado inferiormente. Conforme a proposição, existe m = mim S’, pela condição (i) certamente m > a, logo

( m –1 ) + 1 = m pertence a S; uma contradição.

Principio de Indução Completa – 2ª forma

            Suponhamos que para cada inteiro n >= a está dada uma afirmação A(n) de forma tal que:

 

(i)   A (a) é verdadeira.

(ii)  Se A(m) é verdadeira para todo inteiro m tal que a =< m =< k então A(k+1) é verdadeira.

 

            Então A(n) é verdadeira para todo inteiro  n >= a

 

            Exemplo – Vamos definir uma seqüência da seguinte forma: só dois primeiros termos serão a1 = 1 e a2 = 3; cada um dos termos subsequentes se define como a soma dos dois anteriores, isto é, an = an-1  + an-2. Assim, os primeiros termos desta seqüência serão:

            1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …

 

            Queremos demonstrar que, para cada n, vale a desigualdade:

 

            an  <  ()n

 

            De fato, para n =1 temos 1 < () e para n =2 temos 3 < ()2.

Seja então k >= 2 e suponhamos agora que ela vale para todo inteiro positivo menor ou igual a k. Queremos provar que ak+1 = ak + ak-1.

 

            Da hipótese de indução, a afirmação vale, em particular, para n =k e n = k-1. Logo, temos ak < ()k e ak-1 < ()k-1, donde temos:

 

ak+1 <  ()k + ()k-1 = ()k-1 ( + 1) = ()k-1 *

 

Como ainda   < ()2 temos que:

 

ak+1 <  ()k-1 * ()2 = ()k+1 , como queríamos demonstrar.

A indução completa fornece também um método para definir novos conceitos, método de recorrência. Por exemplo, dado um inteiro a podemos definir potência de a expoente positivo da seguinte forma:

 

(i)         a1= a;

 

(ii)        Para cada inteiro positivo n, definimos an+1= a * an.

 

            O par de condições acima dá um regra que especifica o significado só símbolo anpara cada inteiro n >= 1. Por convenção definiremos ainda a° = 1.

            O método de recorrência também é usado para definir o símbolo n!. Definimos:

 

(i)         1!  = 1

(ii)        n!  = n * [ ( n – 1 )! ] para todo inteiro n >= 1.

 

            Assim temos que 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1 e, em geral, n! é o produto de todos os números positivos menores ou iguais a n.

 

            O uso do principio de indução completa com método de demonstração parece ser muito antigo e está implícito na obra de Euclides. Aceita-se freqüentemente que a primeira formulação explícita deste princípio se deve a Blaise Pascal em 1654. O nome “indução  matemática” surgiu bem mais tarde. Apareceu pela primeira vez em 1838 por Morgan.

Demonstrações

  1. Provar que Kn  ( Grafo Completo ) é igual

Hipótese | E ( Kn  ) | =

 

| E ( Kn+1 ) | =

 

Subgrafo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se ele formar um grafo completo terá 6 arestas para n=4 ( base ). Se acrescentarmos mais 1 ponto (n + 1), o grafo terá 6 arestas + n arestas.

 

 =

 

  =          = =

  1.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Com referência o grafo acima, quando acrescentamos aos n pontos distribuídos sobre a circunferência um novo ponto P e o ligamos a um dos pontos anteriores, obtemos tantas novas regiões quantas forem as interseções do novo segmento, com os anteriores, mais uma. para calcular o número de interseções, vamos enumerar os n pontos de 1 a n, no sentido anti-horário, a partir de P. O segmento que parte de P e vai ao j-ésimo ponto intersecta todos os segmentos que ligam os j-1 pontos anteriores ao

j-ésimo com os n – j pontos posteriores ao j-ésimo; o número de tais intersecções é portanto, (j -1)(n –j) e, assim, o número de novas regiões correspondentes ao j-ésimo ponto é:

 

(j – 1)(n –j) + 1.

 

            Somando para j = 1, 2, … , n, obtém-se o número P(n) de novas regiões, quando passamos de n para n + 1 pontos sobre a circunferência:

 

P(n) =

 

 

            Quando n=1, temos uma única região; ao passarmos de n = 1 para n = 2, acrescentamos P(1) = 1 nova região, de modo que:

 

R2 = 1 + P(1) = 2.

 

            De n = 2 para n =3, temos P(2) = 1 + 1 e, portanto:

 

R3 = R2  + P(2) = 1 + P(1) + P(2) = 4

Em geral:

Rn = 1 +

Vamos calcular agora P(K) em função de K; as fórmulas utilizadas, a saber: a soma dos K primeiros números naturais, a soma de seus quadrados e a soma de seus cubos podem ser demonstradas por indução:

1 + 2 + … + K =  =

 

12 + 22 + … + K2 =  =

 

13 + 23 + … + K3 =  =  , temos então:

 

P(k) = =  =

 

(k + 1)  =  + (k 1- k) =

 

 

 

Rn  = 1 +  =

 

1 +  =

 

1+  =

  1. C.  Suponha que um Sr. Silva casou-se e teve dois filhos. vamos chamar estes dois filhos de geração 1. Agora suponha que cada um desses dois filhos teve filhos; então na geração 2 temos quatro descendentes. Este processo continua de geração em geração. A árvore genealógica família Silva é semelhante à figura abaixo:

 

 

Geração    Descendentes

 

       1               2 =21

 

 

        2              4 = 22

 

 

 

 

        3              8 = 23

 

 

 

 

 

 

Aparentemente a geração n tem 2ndescendentes. De maneira mais formal, se fizermos P(n) denotar o número de descendentes na geração n, então nossa suposição será

 

P(n) = 2n

 

Podemos usar a indução para demonstrar que nosso palpite para P(n) está correto.

            A base da indução é estabelecer P(1), que resulta a equação

 

P(k) = 2k

 

e tentaremos mostrar que

 

P(k+1 ) = 2k+1

 

Nesta família, cada descendente tem dois filhos; então o número de descendentes na geração k+1 será o dobro do da geração índice k, ou seja, P(k+1) =2. pela hipótese de indução, P(k) = 2k, logo

P(k +1) = 2 P(k) = 2(2k) = 2k+1

 

então, de fato,

 

P(k + 1) = 2k+1

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