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A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X, para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes:

Classes (Xi) fi
4  –  9

9  –  14

14  –  19

19  –  24

24  –  29

29  –  34

34  –  39

39  –  44

44  –  49

5

9

10

15

12

6

4

3

2

 

  1. Sabe-se que o desvio-padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio-padrão.
  2. -0,600
  3. 0,191
  4. 0,709
  5. 0,603
  6. -0,610

 

Sol.: Nesta questão, nossa primeira preocupação será a de descobrir o que está sendo solicitado. Ora, temos dois coeficientes de assimetria de Pearson! Aquele que se baseia nos valores da Média, Mediana e do Desvio-Padrão é exatamente o Segundo Coeficiente de Pearson, que é dado pela fórmula:

     Sabendo disso, teremos agora que fazer todo o trabalho para calcular essas três medidas que compõem a nossa fórmula!

 

# Cálculo da Média:

     Trabalharemos pelo método da variável transformada! Perfazendo os passos já nossos conhecidos, teremos:

Classes (Xi) fi PM (PM-6,5)=Yi

    5

Yi.fi
4  –  9

9  –  14

14  –  19

19  –  24

24  –  29

29  –  34

34  –  39

39  –  44

44  –  49

5

9

10

15

12

6

4

3

2

6,5

11,5

16,5

21,5

26,5

31,5

36,5

41,5

46,5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

9

20

45

48

30

24

21

16

  n=66     213

     Agora, calcularemos o valor da Média da variável transformada Yi, pela utilização da fórmula:   

 

     Teremos que:   à    à 

 

     Construindo os caminhos de transformação da variável, teremos:

 

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-6,5)             à                  2º)(¸5)

                                                 Xi                                                                  Yi                                   

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+6,5)            ¬                  1º)(x5)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

     Daí, percorrendo o caminho de volta, e lembrando-nos das propriedades da média, que é influenciada pelas quatro operações, teremos que:

     1o) 3,227 x 5 = 16,14  e

     2o) 16,14 + 6,5 = 22,64   à  Ou seja:

 

# Cálculo da Mediana:

 

     Para descobrirmos quem é a Classe Mediana, calcularemos o (n/2). Teremos que: (n/2)=33 à Nosso valor de referência!

 

     Partimos para as perguntas de praxe, comparando o (n/2) com os valores da fac! Teremos:

 

Classes (Xi) fi fac↓  
4  –  9

9  –  14

14  –  19

19  –  24

24  –  29

29  –  34

34  –  39

39  –  44

44  –  49

5

9

10

15

12

6

4

3

2

5

14

24

39

51

57

61

64

66

à 5 é ³ 33? NÃO!

à 14 é ³ 33? NÃO!

à 24 é ³ 33? NÃO!

à 39 é ³ 33? SIM!

  n=66    

 

     Daí, descobrimos que a Classe Mediana é a quarta classe:     (19 – 24)! Agora, resta aplicarmos a fórmula da Mediana.

 

Teremos:

  à    à  Md=22,0

# Cálculo do Desvio Padrão:

 

     Este não precisaremos calcular, porque já foi fornecido pelo enunciado!! Toda atenção é pouca, quando se trata de ler as questões! Alguém mais desatento talvez fosse perder um tempo incomensuravelmente valioso, calculando este Desvio Padrão, que já havia sido “dado de bandeja”!

 

     Segundo o enunciado, teremos: S=10,0

 

# Calculando o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:

 

     Aplicando a fórmula, teremos:

 

  à    à  A=0,191  à  Resposta!!

 

 

  1. Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem 3, m3. Assinale a opção correta:
  2. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média.
  3. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média.
  4. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média.
  5. O valor de m3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações.
  6. O valor de m3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média.

 

Sol.:  Esta questão é meramente conceitual! Quer saber se o aluno conhece a fórmula do Terceiro Momento ou Momento de Terceira Ordem Centrado na Média Aritmética! Apenas isso!

     A fórmula do m3 (chamado de m3 pelo enunciado!) é a seguinte:

 

 

     Traduzindo a fórmula acima, vemos que o seu numerador representa “os desvios dos elementos Xi em relação à Média, elevados à terceira potência”. Em outras palavras: o numerador é o cubo dos desvios em relação à média!

     O denominador é apenas o número de elementos do conjunto. Se estamos dividindo o somatório de um conjunto de elementos pelo seu número de elementos, estamos na verdade determinando a sua Média!

     Daí, o entendimento completo da fórmula do M3, será a seguinte: ”a média dos cubos dos desvios em relação à média”.

     Portanto: Opção E à Resposta!!

 

 

     Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 400 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. A próxima questão se refere a esses ensaios.

 

Classes (Xi) P(%)
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

5

10

20

50

70

95

100

 

  1. Seja S o desvio-padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo segundo coeficiente de Pearson.
  2. a) Negativo e maior que menos um;
  3. b) Positivo e maior que um;
  4. c) Positivo e menor que um;
  5. d) Negativo e menor que menos um;
  6. e) Zero.

 

Sol.: Sabemos que antes de qualquer coisa, teremos que trabalhar as colunas de freqüências, para chegarmos à fi! É o que faremos agora:

 

Classes (Xi) Fac Fi fi
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

5%

10%

20%

50%

70%

95%

100%

5%

5%

10%

30%

20%

25%

5%

20

20

40

120

80

100

20

 

 

     O Segundo Coeficiente de Pearson é determinado pela fórmula seguinte:  , conforme havíamos visto na primeira questão!

 

     Daí, calcularemos a Média e a Mediana deste conjunto!

 

 

# Cálculo da Média:

 

     Usando o método da variável transformada, teremos:

 

 

 

 

 

Classes (Xi) fi PM (PM-19,5)=Yi

    10

Yi.fi
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

20

20

40

120

80

100

20

19,5

29,5

39,5

49,5

59,5

69,5

79,5

0

1

2

3

4

5

6

0

20

80

360

320

500

120

  n=400     1400

 

 

     Após isso, acharemos o valor da média da variável transformada Yi. Da seguinte forma:

 

  à    à 

 

     Desenhando os caminhos de transformação, teremos:

 

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-19,5)             à                  2º)(¸10)

                                                 Xi                                                                  Yi                                   

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+19,5)            ¬                  1º)(x10)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

Daí, percorrendo o caminho de volta, e lembrando-nos das propriedades da média, que é influenciada pelas quatro operações, teremos que:

     1o) 3,5 x 10 = 35,0  e

     2o) 35,0 + 19,5 = 54,5   à  Ou seja:

 

# Cálcul o da Mediana:

 

     Vamos logo descobrir quem é a Classe Mediana!

     Fazemos (n/2)=200, e comparamos esse valor (200) com os valores da fac! Teremos:

 

Classes (Xi) fi fac  
14,5  –  24,5

24,5  –  34,5

34,5  –  44,5

44,5  –  54,5

54,5  –  64,5

64,5  –  74,5

74,5  –  84,5

20

20

40

120

80

100

20

20

40

80

200

280

380

400

à 20 é ³ 200? NÃO!

à 40 é ³ 200? NÃO!

à 80 é ³ 200? NÃO!

à 200 é ³ 200? SIM! É o quê?

É IGUAL!!! Logo: 2a REGRA DE OURO DA MEDIANA!!!

  n=400    

 

     Olha que beleza!! Sem fazer mais nenhuma conta, já podemos afirmar que: Md=54,5 (=limite superior da classe correspondente!)

 

Finalmente, aplicando a fórmula do Segundo Coeficiente de Pearson a este conjunto, verificamos que o numerador irá se anular! Vejamos:

 

 à  à   à  A=0 (zero) à Resposta!

 

 

  1. Considere a seguinte transformação Z=(X-75)/20. Para o atributo Z encontrou-se que , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a opção que dá o desvio-padrão amostral do atributo X. Sabe-se que a amostra possui 50 elementos e que a média desses elementos é 85.
  2. a) 5,00
  3. b) 5,05
  4. c) 5,10
  5. d) 25,00
  6. e) 25,51

 

Sol.: Uma questãozinha das boas! Aqui, temos que saber, e bem, trabalhar com a variável transformada! Comecemos construindo os caminhos de transformação das variáveis. Teremos:

 

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-75)             à                  2º)(¸20)

                                               Xi                                                                  Zi                                

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+75)            ¬                  1º)(x20)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

O enunciado pede que encontremos o valor do Desvio-Padrão Amostral da variável original Xi. Pelos dados fornecidos na questão, percebemos facilmente que a fórmula a ser empregada é a seguinte:

 

 

  Observando a presença do “menos 1” no denominador (fora dos colchetes!) por conta do fator de correção de Bessel, presente no cálculo do desvio-padrão (e variância) amostral.

 

  Agora ficou fácil enxergar que teremos de calcular a Variância da variável transformada Zi para, em seguida, percorrermos o caminho de volta da transformação e chegarmos à resposta procurada!

 

 

 

 

O cálculo do Desvio-Padrão de Zi será dado por:

 

 

  Ora, desta fórmula já conhecemos o valor do n (=50) e da parcela  , ambos fornecidos pelo enunciado. Resta encontrarmos o quê? Apenas o valor de  e só!

 

  Aqui vale a atenção do aluno! O enunciado forneceu mais algum dado adicional? SIM! Forneceu a Média da variável Xi! Ora, se quiséssemos saber a Média da variável transformada Zi, como faríamos para calculá-la?

 

  Sabemos que a fórmula da Média é a seguinte:  

 

  Percebamos que, para chegarmos ao valor do numerador , teríamos que conhecer o n e o . Aquele já sabemos quem é; esse ainda não! Mas podemos chegar ao valor do , trabalhando com a variável transformada! Teremos apenas que percorrer o Caminho de Ida da transformação, e teremos o seguinte:

 

Partindo do =85,0 à 1o) 85-75=10 e 2o) 10:20=0,5 à =0,5

 

  Agora, podemos fazer o seguinte:

 

 à    à    à

 

Daí, retornaremos à fórmula do Sz, e chegaremos ao seguinte:

 

  à   à Sz=0,2525

 

 

  Finalmente, agora só teremos que percorrer o caminho de volta da transformação, para chegarmos ao Desvio-Padrão do X! Teremos:

 

Partindo do Sz=0,2525 à 1o)0,2525×20=5,05 à 2o)A soma não influencia o valor do Desvio-Padrão! à Logo: Sx=5,05 à Resposta!

 

 

 

 

 

 

 

  1. Aplicando a transformação z = (x – 14)/4 aos pontos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.
  2. 6,20
  3. 4,40
  4. 5,00
  5. 7,20
  6. 3,90

 

Sol.: Essa aqui é bem mais simples! Basta construirmos os caminhos de transformação e nos lembrarmos das propriedades do desvio padrão!

     Teremos que:

Caminho de Ida

 

 

                   1º) (-14)             à                  2º)(¸4)

                                                Xi                                                                  Zi                                

                                      (Variável Original)                                          (Variável Transformada)

       
     
   

 

 

        3º)(+14)            ¬                  1º)(x4)

 
   

 

 

Caminho de Volta

 

 

     Daí, percorrendo o Caminho de Volta, faremos:

 

     1o)1,10×4=4,40  e   2o)Soma não altera o desvio-padrão!

 

     Chegamos, finalmente a: Sx=4,40 à  Resposta!!

 

 

 

 

     Pronto, amigos! Lá se foi mais esse simulado. Espero que estejam se saindo bem. Espero, mais ainda, que estejam aprendendo com eventuais erros cometidos!

 

     Na seqüência, deixo com vocês o “SIMULADO 5”. Este é bem diferente. Apenas teórico! Contém assertivas extraídas de provas anteriores do AFRF, e nosso trabalho será apenas dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

 

     Na verdade, estou aproveitando um e-mail de um aluno virtual, o Edson Luiz, um paraense que anda batalhando na capital maranhense. Ele me mandou esta relação e achei-a apropriada a se tornar um pequeno simulado! Obrigado ao Edson, um forte abraço!

     Dedico esta aula de hoje aos meus muitos e bons amigos – os Técnicos da Receita Federal de todo o País – dos quais recebo e-mails quase que diariamente. É uma categoria da qual me orgulho profundamente em dizer que já fiz parte, e que admiro sinceramente. Um forte abraço aos colegas TRF!

     Sem mais delongas, deixo-os com o nosso SIMULADO 05.

     Até a próxima!

 

SIMULADO 05

 

  • A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de freqüências.

 

  • Em qualquer distribuição de freqüências, a média
    aritmética é mais representativa do que a média
    harmônica.

 

  • A soma dos quadrados dos resíduos em relação à
    média aritmética é nula.

 

  • A moda, a mediana e a média aritmética são
    medidas de posição com valores expressos em reais que
    pertencem ao domínio da variável a que se referem.

 

  • Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável aleatória.

 

  • O coeficiente de assimetria, em qualquer
    distribuição de freqüência, é menor do que o
    coeficiente de curtose.

 

  • O coeficiente de assimetria, em uma
    distribuição de freqüência, é um real no intervalo
    [-3,3].

 

  • O coeficiente de curtose, em uma distribuição de
    freqüência, é igual a três vezes o quadrado da
    variância da distribuição.

 

  • O coeficiente de curtose é igual a três em uma
    distribuição normal padrão.

 

  • Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de
    curtose é nulo.

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